32三角函数最值与值域专题

三角函数最值与值域专题三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。例1：求函数xxysin21sin的值域。解：由xxysin21sin变形为(1)sin21yxy，知1y，则有21sin1yxy，21|sin|||11yxy22221||1(21)(1)1yyyy203y，则此函数的值域是2[,0]3y类型一：利用sin1cos1,xx这一有界性求最值3][1（，，+）练习：求函数1cos3cosxyx的值域2,求函数)3sin()6sin(xxy（Rx）的最值。)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(xxxxy，∴函数的最大值为2，最小值为2。类型二：xbxaycossin型。此类型通常可以可化为22sincos()yaxbxabx求其最值（或值域）。例1：求函数3sin4cos,(0,)2yxxx的最值。解：343sin4cos5sin(),cos,sin55(,),(3,5]2yxxxxy例1：求函数1sin3cos2xxy（Rx）的最值解：49)23(sin1sin3sin122xxxy∴函数的最大值为49，最小值为4325类型三：)0(sinsin2acxbxay型。此类型可化为)0(2acbtaty在区间]1,1[上的最值问题。练习：函数22()sin2cos[,0]3fxxx在区间上的最大值是2例：求函数)2474(cossin4sin3cos35)(22xxxxxxf的最值，并求取得最值时x的值。解：xxxxf2sin222cos1322cos135)(332sin23cos32xx33)62cos(4x∵2474x，∴436232x，∴21)62cos(22x∴()fx的最小值为2233，此时247x，()fx无最大值。类型四：)0(cossinsin2acxxbxay型。练习：已知：213sincos122sinyxxxxR，，求y的最大值及此时x的集合．解：∵213sincos122sinyxxx1cos2315sin21sin(2)44264xxx，∴当sin(2)16x时，max157244y．此时，2262xk，即6xk．所以y的最大值为74，此时x的集合为{|}6xxkkZ，．类型五：dxcbxaxfcossin)(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为cxbxacossin再利用辅助角公式求其最值；②采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。例2练习：求函数3cos2sin2)(f的最值。3cos1sin2y∴y/2即为单位圆上的点(cosθ，sinθ)与定点(3，1)连线的斜率，由数形结合可知y/2∈[0，3/4],∴y∈[0，3/2]类型六：含有xxxxcossincossin与的最值问题。解此类型最值问题通常令xxtcossin，xxtcossin212，22t，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。例：求函数sincossincosyxxxx的最大值并指出当x为何值时，取得最大值。解法1：设t=sinx+cosx，则)4sin(2xt∴]2,2[t∴)1(21cossin2txx∴1)1(21)1(2122ttty221maxy。解法2：)4sin(22sin21cossincossinxxxxxxy，44xx，2111sin(2)2sincos22sinsin2sin2222ymax122y练习：1,求函数(sin2)(cos2)yxx的最大、最小值．解：原函数可化为：sincos2(sincos)4yxxxx，令sincos(||2)xxtt，则21sincos2txx，∴2211324(2)222tytt．∵2[2,2]t，且函数在[2,2]上为减函数，∴当2t时，即2()4xkkZ时，min9222y；当2t时，即32()4xkkZ时，max9222y．类型七:sin(0)sinbyaxxx型（转化为对号函数）函数最值问题。例：求函数xxxy2sinsin22sin1的最大、最小值xxxxysin11sin111)sin1(sin12∵1－sinx≥0∴y≥0,当sinx=1时Ymin=0,当1－sinx0时,1－sinx+xsin11≥2,ymax=1/2