5.1柯西不等式

5.1柯西不等式有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，人们称它们为经典不等式.如均值不等式:1212(,1,2,,)≥nnniaaaaaaaRinn.本章,我们来学习数学上三个有名的经典不等式:柯西不等式与排序不等式、贝努利不等式,知道它的意义、背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.定理1(二维形式的柯西不等式)若,,,abcd都是实数,则2222212121122()()()aabbabab.当且仅当adbc时,等号成立.你能简明地写出这个定理的证明？22222:()()()abcdacbd求证2222(2)abcdacbd2222(1)abcdacbd二维形式的柯西不等式的变式:2(3)()()()()abcdacbdabcdR、、、运用这个定理,我们可以解决以前的问题.思考1:设,,1,abRab求证:114ab≥.证明:由于,abR,根据柯西不等式,得21111()()()4abababab≥又1ab,∴114ab≥可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！注：若11(,)xy，22(,)xy，则121222221122cos,xxyyxyxy定理2(柯西不等式的向量形式)若,是两个向量,则≥.当且仅当是零向量或存在实数k，使k时,等号成立.若1122,,,xyxy都是实数,则2222211221212()()()xyxyxxyy≥.当且仅当1221xyxy时,等号成立.根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？探究:从平面向量的几何背景能得到≥,将平面向量的坐标代入,化简后得二维形式的柯西不等式:2222212121122()()()aabbabab≥,当且仅当1221abab时,等号成立.类似地,从空间向量的几何背景也能得到≥,将空间向量的坐标代入,化简后得三维形式的柯西不等式:2222222123123112233()()()aaabbbababab≥,当且仅当,共线时,等号成立.0,即或存在一个实数k,使得(1,2,3)iiakbi时,等号成立.猜想柯西不等式的一般形式222222212121122()()()nnnbaaabbbababab≥②，aaaAn22221设，bbbCn22221nnbababaB22112ACB不等式就是②≥分析：)()(2)()(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaaxf构造二次函数0)()()()(2222211nnbxabxabxaxf又∴二次函数fx的判别式0△≤,即2222222112212124()4()()0nnnnabababaaabbb≤得222222211221212()()()≤nnnnabababaaabbb。等号成立时使得或存在一个数当且仅当则是实数设一般形式的柯西不等式定理,),,2,1(,),,2,1(0,,,,,,,,,,)(321321nikbaknibbbbbaaaaiiinn222222212121122()()()nnnbaaabbbababab≥同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景，其应用广泛。例1用柯西不等式证明：2222abcdabbccdda证明：取两组数,,,,,,abcdbcda则由柯西不等式有222222222()()()abcdbcdaabbccdda∴222222()()abcdabbccdda2222即abcdabbccdda证明：22222212212(111)()(111)nnaaaaaa≥例2已知12,,,naaa都是实数，求证：222212121()nnaaaaaan≤22221212()()nnnaaaaaa≥222212121()nnaaaaaan≤的最小值求已知例222,1323zyxzyx141143,71,1413211411)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明zyxzyxzyxzyxzyxzyx变式引申:.,94,13222并求最小值点的最小值求若yxyx222222222:(49)(11)(23)1,149.22/13/1,23.2311.2314611149,(,)246xyxyxyxyxyxyxyxyxy解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为2.已知224936xy,求2xy的最大值.max98(2)555此时、xyxy练习P611、2、3、4224,326,211xyxyxy例已知、为实数且满足求证：课堂练习:设1212,,,1,nnxxxRxxx且求证:222121211111nnxxxxxxn≥22212122212121221212122212(1)()111(111)(11)(111111)()11nnnnnnnnnxxxnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx≥222121211111nnxxxxxxn≥证明：111(,)Pxy222(,)PxyOxy|-|12xx12|-|yy（发现）定理3(二维形式的三角不等式)设1122,,,,xyxyR那么22222211221212()()()()xyxyxxyy≥.Oxy(,)111Pxy(,)222Pxy22122122222121)()(yyxxyxyx二维形式的三角不等式221221221222222212121)()()(zzyyxxzyxzyx三维形式的三角不等式22222112222122221)()()(nnnnyxyxyxyyyxxx一般形式的三角不等式