基本不等式-高考历年真题

———温馨提示：高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点20】基本不等式2009年考题1.（2009天津高考）设0,0.ab若11333abab是与的等比中项，则的最小值为（）A8B4C1D14【解析】选B.因为333ba，所以1ba，1111()()2224babaababababab，当且仅当baab即21ba时“=”成立，故选择B.2.（2009天津高考）设yxbababaRyxyx11,32,3,1,1,,则若的最大值为（）A.2B.23C.1D.21【解析】选C.因为3log,3log,3bayxyxba，1)2(loglog11233baabyx（当且仅当a=b=3时等号成立）.3.（2009重庆高考）已知0,0ab，则112abab的最小值是（）A．2B．22C．4D．5【解析】选C.因为11112222()4abababababab当且仅当11ab，且1abab，即ab时，取“=”号。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m4.（2009湖南高考）若x∈(0,2)则2tanx+tan(2-x)的最小值为.【解析】由(0,)2x，知1tan0,tan()cot0,2tan所以———12tantan()2tan22,2tan当且仅当2tan2时取等号，即最小值是22。答案：225.（2009湖南高考）若0x，则2xx的最小值为.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】0x222xx，当且仅当22xxx时取等号.答案：226.（2009湖南高考）若0x，则2xx的最小值为.【解析】选0x222xx，当且仅当22xxx时取等号.答案：227.（2009江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mma；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为nna.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h和2h，则他对这两种交易的综合满意度为12hh.现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为Am元和Bm元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙(1)求h甲和h乙关于Am、Bm的表达式；当35ABmm时，求证：h甲=h乙；(2)设35ABmm，当Am、Bm分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h，试问能否适当选取Am、Bm的值，使得0hh甲和0hh乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。【解析】(1)当35ABmm时，23535(20)(5)125BBBBBBBmmmhmmmm甲,———235320(5)(20)35BBBBBBBmmmhmmmm乙,h甲=h乙（2）当35ABmm时，2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251BBBBBBBmhmmmmmm甲由111[5,20][,]205BBmm得，故当1120Bm即20,12BAmm时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105。（3）由（2）知：0h=105由010=1255ABABmmhhmm甲得：12552ABABmmmm，令35,,ABxymm则1[,1]4xy、，即：5(14)(1)2xy。同理，由0105hh乙得：5(1)(14)2xy另一方面，1[,1]4xy、141xx5、1+4y[2,5],、1+y[,2],255(14)(1),(1)(14),22yxy当且仅当14xy，即Am=35Bm时，取等号。由（1）知Am=35Bm时h甲=h乙所以不能否适当选取Am、Bm的值，使得0hh甲和0hh乙同时成立，但等号不同时成立。8.（2009湖北高考）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）。（Ⅰ）将y表示为x的函数：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m———（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为am,则2y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=x360,所以y=225x+2360360(0)xxw.w.w.k.s.5.u.c.o.m(II)223600,225222536010800xxx104403603602252xxy.当且仅当225x=x2360时，等号成立.即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.2008年考题1、（2008四川高考）已知等比数列{}na中21a，则其前3项的和3S的取值范围是()（A）(,1]（B）(,0)(1,)（C）[3,)（D）(,1][3,)【解析】选D.方法1：∵等比数列{}na中21a∴当公比为1时，1231aaa，33S；当公比为1时，1231,1,1aaa，31S从而淘汰（A）（B）（C）故选D；方法2：∵等比数列{}na中21a∴3123211(1)1Saaaaqqqq∴当公比0q时，3111123Sqqqq…；当公比0q时，3111()12()1Sqqqq„∴3(,1][3,)S故选D；方法3：311Sxx(0)x．由双勾函数1yxx的图象知，12xx…或12xx„，故选D．2、（2008重庆高考）函数()1xfxx的最大值为（）A．25B．12C．22D．1【解析】选B.11()112xfxxxx„（当且仅1xx，即1x时取等号）。故选B。3、（2008浙江高考）已知0,0,2,abab且则厖（）A.12ab„B.12ab…C.222ab…D.223ab„【解析】选C.由0,0ab厖,且2ab∴222224()22()abababab„，当且仅当a=b=1时等号———成立∴222ab…。4、（2008陕西高考）“18a”是“对任意的正数x，21axx…”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】选A.18a112222188axxxxxx…，另一方面对任意正数x，21axx…只要22221aaxxaxx2厖18a…，所以选A.5、（2008江西高考）若121212120,01aabbaabb,且，则下列代数式中值最大的是（）A．1122ababB．1212aabbC．1221ababD．12【解析】选A.22121212121()()222aabbaabb„112212211211222121()()()()()0ababababaabaabaabb…11221221()abababab…12121122112111221()()2()aabbabababababab„∴112212abab…6、（２００８年安徽高考）设函数1()21(0),fxxxx则()fx（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数【解析】选A.1020,0xxx∵∴，11()21[(2)()]1fxxxxx，由基本不等式11()[(2)()]12(2)()1221fxxxxx„有最大值.7、（2008江苏高考）2,,,230,yxyzRxyzxz的最小值为。【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由230xyz得32xzy，代入2yxz得229666344xzxzxzxzxzxz，当且仅当3xz时取“=”。答案:38、(2008湖北高考).如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单———位：cm），能使矩形广告面积最小？【解析】方法1：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=9000.①广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.广告的面积S＝(a+20)(2b+25)＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b≥18500+2ba4025=18500+.245001000ab当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=a85,代入①式得a=120，从而b=75.即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.故广告的高为140cm,宽为175cm时，可使广告的面积最小.方法2：设广告的高为宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为x－20，,225y其中x＞20，y＞25两栏面积之和为2(x－20)18000225y,由此得y=,252018000x广告的面积S=xy=x(252018000x)＝252018000xx,整理得S=.18500)20(2520360000xx因为x－20＞0，所以S≥2.2450018500)20(2520360000xx当且仅当)20(2520360000xx时等号成立，此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=2018000x+25,得y＝175，即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小.2007年考题1.（2007上海高考）已知,ab为非零实数，且ab，则下列命题成立的是（）A、22abB、22ababC、2211ababD、baab【解析】选C.若0ab2a≥2b，A不成立；若220,ababababB不成立；若a=1，b=2，则12,2babaabab,所以D不成立,故选C.2.（2007重庆高考）若a是1+2b与1-2b的等比中项，则||2||2baab的最大值为（）———A.1552B.42C.55D.22【解析】选B.a是1+2b与1-2b的等比中项，则222214414||.ababab1||.4ab2224(||2||)4||1.ababab2222||4()||2||14||14||14||abababababababab2244411()(2)4||||ababab11||4,4||abab242max.||2||324abab3.（2007山东高考）函数1(01)xyaaa，的图象恒过定点A，若点A在直线10(0)mxnymn上，则11mn的最小值为．【解析】函数1(01)xyaaa,的图象恒过定点(1,1)A，1110mn，1mn，,0mn，（方法一）：122mnmnmn，11112224mnmn（当且仅当m=n=12时等号成立）.（方法二）：1111()()2224nmnmmnmnmnmnmn（当且仅当m=n