2019全国卷1理科数学-word版

理科数学试题第1页（共5页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合{|42}Mxx，2{|60}Nxxx，则MNA．{|43}xxB．{|42}xxC．{|22}xxD．{|23}xx2．设复数z满足|i|1z，z在复平面内对应的点为(,)xy，则A．22(1)1xyB．22(1)1xyC．22(1)1xyD．22(1)1xy3．已知2log0.2a，0.22b，0.30.2c，则A．abcB．acbC．cabD．bca4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（510.6182，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm理科数学试题第2页（共5页）5．函数2sin()cosxxfxxx在[π,π]的图像大致为A．ππ1xOyB．ππ1xOyC．ππ1xOyD．ππ1xOy6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阴爻“”和阳爻“”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B．1132C．2132D．11167．已知非零向量a，b满足||2||ab，且()abb，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π68．右图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入A．12AAB．12AAC．112AAD．112AA9．记nS为等差数列{}na的前n项和．已知40S，55a，则A．25nanB．310nanC．228nSnnD．2122nSnn开始12A1k2k≤1kk结束A输出否是理科数学试题第3页（共5页）10．已知椭圆C的焦点为1(1,0)F，2(1,0)F，过2F的直线交C于A，B两点．若22||2||AFFB，1||||ABBF，则C的方程为A．2212xyB．22132xyC．22143xyD．22154xy11．关于函数()sin|||sin|fxxx有下述四个结论：①()fx是偶函数②()fx在区间π(,π)2单调递增③()fx在[π,π]有4个零点④()fx的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③12．已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC△是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，90CEF，则球O的体积为A．86πB．46πC．26πD．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为__________．14．记nS为等比数列{}na的前n项和．若113a，246aa，则5S__________．15．甲，乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以:41获胜的概率是__________．16．已知双曲线22221(0,0)xyCabab：的左，右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若1FAAB，120FBFB，则C的离心率为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设22(sinsin)sinsinsinBCABC．（1）求A；（2）若22abc，求sinC．理科数学试题第4页（共5页）18．（12分）如图，直四棱柱1111ABCDABCD的底面是菱形，14AA，2AB，60BAD，E，M，N分别是BC，1BB，1AD的中点．（1）证明：MN∥平面1CDE；（2）求二面角1AMAN的正弦值．19．（12分）已知抛物线23Cyx：的焦点为F，斜率为32的直线l与C的焦点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若||||4AFBF，求l的方程；（2）若3APPB，求||AB．20．（12分）已知函数()sinln(1)fxxx，()fx为()fx的导数．证明：（1）()fx在区间π(1,)2存在唯一极大值点；（2）()fx有且仅有2个零点．21．（12分）为治疗某种疾病，研制了甲，乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验，试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲，乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药，乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)ipi表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p，11p，11iiiipapbpcp(1,2,,7)i，其中(1)aPX，(0)bPX，(1)cPX．假设0.5α，0.8β．（ⅰ）证明：1{}iipp(1,2,,7)i为等比数列；（ⅱ）求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性．1D1C1A1BNMDCEAB理科数学试题第5页（共5页）（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221,141txttyt（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110ρθρθ．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c为正数，且满足1abc．证明：（1）222111abcabc≤；（2）222()()()24abbcca≥．