第3章-瞬时变化率——导数

3.1.2瞬时变化率——导数(一)第3章§3.1导数的概念学习目标1.了解曲线的切线的概念，会用逼近的思想求切线斜率.2.会求物体运动的瞬时速度与瞬时加速度.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一曲线上一点处的切线思考如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x，f(x))时，割线PPn的变化趋势是什么？答案当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置.这个确定的位置的直线PT称为过点P的切线.斜率梳理可以用逼近的方法来计算切线的斜率，设P(x，f(x))，Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝fx＋Δx－fxΔx.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的.fx＋Δx－fxΔx知识点二瞬时速度与瞬时加速度思考瞬时速度和瞬时加速度和函数的变化率有什么关系？答案瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率，瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率.vt0＋Δt－vt0ΔtSt0＋Δt－St0Δt梳理(1)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的，即位移对于时间的.(2)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的，即速度对于时间的.瞬时速度瞬时变化率瞬时加速度瞬时变化率1.曲线上给定一点P，过点P可以作该曲线的两条割线.()2.过曲线上任一点可能作不出一条切线.()3.有的曲线过它上面的某一点可作两条切线.()4.平均速度刻画运动物体在某一时间段内变化的快慢程度，瞬时速度刻画物体在某一时刻变化的快慢程度.()[思考辨析判断正误]√×√√题型探究类型一求曲线在某点处的切线斜率解答例1如图，已知曲线y＝13x3上一点P2，83，求：(1)点P处的切线的斜率；解在点P处的切线方程为y－83＝4(x－2)，解答即12x－3y－16＝0.(2)点P处的切线方程.反思与感悟解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想.即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx无限趋近于0时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率.跟踪训练1利用割线逼近切线的方法分别求曲线y＝2x2在x＝0，x＝－1，x＝2处的切线斜率.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于4x0，从而曲线y＝f(x)在x＝0，x＝－1，x＝2处的切线斜率分别为0，－4，8.解答则割线PQ的斜率kPQ＝ΔyΔx＝2x0＋Δx2－2x20x0＋Δx－x0＝4x0＋2Δx.解设P(x0，f(x0))，Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，类型二求瞬时速度、瞬时加速度解答例2已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)，(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；解ΔvΔt＝vt＋Δt－vtΔt＝3t＋Δt2＋2－3t2＋2Δt＝6t＋3Δt.ΔvΔt当t＝2，Δt＝0.01时，ΔvΔt＝6×2＋3×0.01＝12.03cm/s2.解答(2)求质点M在t＝2s时的瞬时加速度.解当Δt无限趋近于0时，6t＋3Δt无限趋近于6t，则质点M在t＝2s时的瞬时加速度为12cm/s2.反思与感悟(1)求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别.(2)求瞬时加速度：①求平均加速度；②令Δt→0，求出瞬时加速度.ΔvΔt跟踪训练2质点M按规律S(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s).若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值.解答解∵ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，∴ΔSΔt＝4a＋aΔt.当Δt无限趋近于0时，4a＋aΔt无限趋近于4a.∵在t＝2s时，瞬时速度为8m/s，∴4a＝8，∴a＝2.达标检测答案12345解析解析∵f2＋Δx－f2Δx＝22＋Δx2－8Δx＝8＋2Δx.1.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为___.8当Δx无限趋近于0时，8＋2Δx无限趋近于8，∴曲线f(x)在点A处的切线斜率为8.123452.任一做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S＝3t－t2，则物体的初速度是___.3答案解析解析∵ΔSΔt＝SΔt－S0Δt＝3Δt－Δt2Δt＝3－Δt，∴当Δt无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近于3.12345答案解析在[1,1＋Δt]内的平均加速度为ΔvΔt＝1＋Δt2＋21＋Δt＋2－5Δt＝Δt＋4.解析3.已知物体运动的速度与时间之间的关系：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间段[1,1＋Δt]内的平均加速度是_______，在t＝1时的瞬时加速度是___.4＋Δt4当Δt无限趋近于0时，ΔvΔt无限趋近于4，故在时间段[1,1＋Δt]内的平均加速度为4＋Δt，在t＝1时的瞬时加速度是4.12345答案解析4.已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为______.(3,30)解析设点P(x0,2x20＋4x0).fx0＋Δx－fx0Δx＝2Δx2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4＋2Δx，当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).123455.已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则当Δx趋近于零时，无限趋近于常数______.答案解析－11解析因为fx0－Δx－fx0Δx＝－fx0－Δx－fx0－Δx，fx0－Δx－fx0Δx所以fx0－Δx－fx0Δx无限趋近于常数－11.1.曲线的切线斜率是割线斜率的极限值，是函数在一点处的瞬时变化率.2.瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率，可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度.规律与方法