第三章-3.1.2瞬时速度与导数

3.1.2瞬时速度与导数第三章§3.1导数学习目标1.理解从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数.3.掌握函数在某一点处的导数的定义.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一瞬时变化率思考1物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度.答案Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，v＝ΔsΔt＝10＋5Δt.思考2当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？答案当Δt趋近于0时，ΔsΔt趋近于10，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度.梳理(1)物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当时，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt的平均变化率趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度.(2)函数的瞬时变化率设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率.ft0＋Δt－ft0Δtt0到t0＋Δtfx0＋Δx－fx0Δx知识点二函数的导数思考f′(x0)与f′(x)表示的意义一样吗？答案f′(x0)表示f(x)在x＝x0处的导数，是一个确定的值.f′(x)是f(x)的导函数，它是一个函数.f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值.梳理(1)函数f(x)在x＝x0处的导数limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx函数y＝f(x)在x＝x0处的称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝.瞬时变化率f′(x0)或0|xxy＝(2)导函数定义如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数.记为f′(x)(或yx′、y′).确定的导数f′(x)(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝.0|xxfx＝[思考辨析判断正误](1)函数在某一点处的导数即是函数在该点处的瞬时变化率.()(2)平均变化率刻画函数在区间上的变化的快慢，瞬时变化刻画的是函数在某一点处的变化情况.()(3)f(x)在x＝x0处的导数就是导数f′(x)在x＝x0处的函数值.()√√√题型探究类型一求函数在某一点处的导数解答例1求y＝x2在点x＝1处的导数.解Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，ΔyΔx＝2Δx＋Δx2Δx＝2＋Δx，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2，∴y′|x＝1＝2.反思与感悟求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.跟踪训练1(1)若limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝k，则limΔx→0fx0＋2·Δx－fx0Δx等于A.2kB.kC.12kD.以上都不是解析limΔx→0fx0＋2·Δx－fx0Δx，答案解析√＝2lim2Δx→0fx0＋2·Δx－fx02·Δx＝2k.(2)求y＝2x2＋4x在点x＝3处的导数.解答解Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，ΔyΔx＝2Δx＋16，limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16，所以y′|x＝3＝16.类型二求物体运动的瞬时速度例2某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度.解∵ΔsΔt＝s1＋Δt－s1Δt解答＝1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1Δt＝3＋Δt，∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3，即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3＋Δt)＝3.引申探究1.若本例的条件不变，试求物体的初速度.解答∴物体在t＝0处的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.解∵ΔsΔt＝s0＋Δt－s0Δt＝0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1Δt＝1＋Δt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(1＋Δt)＝1.2.若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解答则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.∵ΔsΔt＝st0＋Δt－st0Δt＝2t0＋1＋Δt.∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s，反思与感悟(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题.(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0).②求平均速度v＝ΔsΔt.③求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝s′(t0).跟踪训练2一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值.∵质点M在t＝2ΔsΔt＝s2＋Δt－s2Δt附近的平均变化率解答解质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.＝a2＋Δt2－4aΔt＝4a＋aΔt，∴limΔt→0ΔsΔt＝4a＝8，即a＝2.类型三导数的实际意义例3一条水管中流出的水量y(单位：m3)是时间x(单位：s)的函数y＝f(x)＝x2＋7x＋15(0≤x≤8).计算2s和6s时，水管流量函数的导数，并说明它们的实际意义.解答反思与感悟导数实质上就是瞬时变化率，它描述物体的瞬时变化，例如位移s关于时间t的导数就是运动物体的瞬时速度，气球体积V关于半径r的导数就是气球的瞬时膨胀率.跟踪训练3服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)关于时间t(单位：min)的函数为y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.60，试解释它们的实际意义.解答解f′(10)＝1.5表示服药后10min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5μg/(mL·min).f′(100)＝－0.6表示服药后100min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6μg/(mL·min).达标检测1.如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为A.－4.8m/sB.－0.88m/sC.0.88m/sD.4.8m/s答案√12345解析物体运动在1.2s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得.解析解析limΔx→0f1＋3Δx－f13Δx＝f′(1).12345答案解析2.设函数f(x)可导，则limΔx→0f1＋3Δx－f13Δx等于A.f′(1)B.3f′(1)C.13f′(1)D.f′(3)√3.函数f(x)在x0处可导，则A.与x0，h都有关B.仅与x0有关，而与h无关C.仅与h有关，而与x0无关D.与x0，h均无关12345答案limh→0fx0＋h－fx0h√12345答案解析解析f′(2)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→032＋Δx2＋22＋Δx－3×22＋2×2Δx＝limΔx→0(3Δx＋14)＝14.4.函数y＝f(x)＝3x2＋2x在x＝2处的导数为________.145.已知函数f(x)＝ax在x＝1处的导数为－2，则实数a的值是________.12345答案解析解析f′(1)＝limΔx→0a1＋Δx－aΔx＝limΔx→0－a1＋Δx＝－a.2由题意知，－a＝－2，∴a＝2.利用导数的定义求导数三步曲(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)作比求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.简记为一差，二比，三极限.规律与方法