二次函数九种类型

如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在直线AC的上方的抛物线上是否存在点P,使得△PAC的面积最大，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。把图形面积用二次函数表达式表示出来，然后利用函数表达式求最值补充知识：平面直角坐标系中三角形的面积一般用铅直高乘以水平宽再乘以二分之一来求。类型一：利用二次函数表达式求最大值的问题类型一利用二次函数表达式求最大值得问题如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在直线AC的上方的抛物线上是否存在点P,使得△PAC的面积最大，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。把图形面积用二次函数表达式表示出来，然后利用函数表达式求最值补充知识：平面直角坐标系中三角形的面积一般用铅直高乘以水平宽再乘以二分之一来求。类型一：利用二次函数表达式求最大值的问题1.某拱桥横截面为抛物线形，将抛物线放置在平面直角坐标系中如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．（1）求△ABC的面积；（2）若动点D在第一象限的抛物线上，求△BDC面积最大时D点的坐标，并求出△BDC的最大面积。针对练习针对练习1.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）．（1）求抛物线的解析式（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．（3）在二次函数上有一动点P，过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M，判断PM有最大值还是有最小值，如有，求出线段PM长度的最大值或最小值．如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC的周长最小，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个定点，先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称点和另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到两个定点距离之和最小的点。类型二：将军饮马问题：类型二将军饮马问题如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC的周长最小，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个定点，先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称点和另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到两个定点距离之和最小的点。类型二：将军饮马问题：1.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上一动点，当PB+PO最小时，求出点P坐标，及PB+PO的最小值针对训练如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC为直角三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题分别以三角形的三条边为斜边(或三个顶点为直角顶点）分三种情况进行讨论，其中要应用勾股定理等知识。类型三：直角三角形的分类讨论：类型三直角三角形分类如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC为直角三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题分别以三角形的三条边为斜边(或三个顶点为直角顶点）分三种情况进行讨论，其中要应用勾股定理等知识。类型三：直角三角形的分类讨论：1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-4，0）、B（-l，0）两点，与y轴交于点C，点D是第三象限的抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点D的横坐标为m，△ACD的面积为S求出S与m的函数关系式，并确定m为何值时S有最大值，最大值是多少？（3）若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P使得∠APC=90°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC为等腰三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题分别以三角形的三条边为底边分三种情况进行讨论，其中要应用两点之间的距离公式等知识。类型四：等腰三角形的分类讨论：类型四等腰三角形分类讨论如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC为等腰三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题分别以三角形的三条边为底边分三种情况进行讨论，其中要应用两点之间的距离公式等知识。类型四：等腰三角形的分类讨论：1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）经过点D（2，2）直线与抛物线交于M，N两点，若线段MN正好被直线BC平分，求直线MN的解析式；（3）直线x=a上存在点P，使得△PBC为等腰三角形？若这样的点P有且只有三个，请直接写出符合条件的a值及其取值范围如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，点P在抛物线上，在y轴上有一个动点Q,是否存在点P、Q,使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用线段的中点坐标公式等。类型五：平行四边形的分类讨论：如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，点P在抛物线上，在y轴上有一个动点Q,是否存在点P、Q,使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用线段的中点坐标公式等。类型五：平行四边形的分类讨论：如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，点P在抛物线上，在y轴上有一个动点Q,是否存在点P、Q,使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用线段的中点坐标公式等。类型五：平行四边形的分类讨论：如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，点P是y轴上一个动点，,是否存在以点P、O、A为顶点的三角形与△OBC相似，如果存在请求出所有满足条件的P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题首先找出一对相等的角，即对应角，再把夹这个角的两边分两种情况对应，同时还有注意到位置的情况。类型六：相似三角形的分类讨论：如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，点P是y轴上一个动点，,是否存在以点P、O、A为顶点的三角形与△OBC相似，如果存在请求出所有满足条件的P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题首先找出一对相等的角，即对应角，再把夹这个角的两边分两种情况对应，同时还有注意到位置的情况。类型六：相似三角形的分类讨论：如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，点P是y轴上一个动点，,是否存在以点P、O、A为顶点的三角形与△OBC相似，如果存在请求出所有满足条件的P点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题首先找出一对相等的角，即对应角，再把夹这个角的两边分两种情况对应，同时还有注意到位置的情况。类型六：相似三角形的分类讨论：如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，将抛物线沿着x轴平移，使得平移后的抛物线的顶点落在直线AC上，求平移后的抛物线的表达式。此类问题要注意到平移抛物线a值大小不变，对于一般式只是b、c值发生改变，对于顶点式只是顶点坐标发生改变。类型七：抛物线的几何变换（平移）：如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，将抛物线绕着x轴翻折所得新抛物线与直线交于点D，求三角形ABD的面积。此类问题要注意到沿着x轴翻折抛物线，由于开口大小没变，只是开口方向改变，所以a值变为原来的相反数。类型八：抛物线的几何变换（轴对称）：如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，点Q是x轴上一个动点，将抛物线绕点Q旋转180°得到新抛物线，设原抛物线顶点为M，旋转后的抛物线顶点为N，与x轴交点中右边的交点为D，若四边形AMDN为矩形，求Q的坐标。此类问题要注意旋转中心在哪里，旋转之后哪些点可以构成平行四边形。类型九：抛物线的几何变换（旋转）：