2016_2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1用向量方法解决平行与垂直问题课件

3.2立体几何中的向量方法3.2.1用向量方法解决平行与垂直问题自主学习新知突破1．会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系．2．会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行．以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具(如图所示)，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面，然后落下石墩夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所成角为45°，为了使60kg石墩垂直离开地面，每个人最少需用202g牛顿的力．[问题1]在空间中给定一个定点A(一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？[提示1]能．[问题2]石墩夯实地面的过程中，石墩所在的直线和地面垂直吗？[提示2]垂直．1．直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线____________的向量．2．平面的法向量的定义直线l⊥α，取直线l的____________，则a叫做平面α的法向量．直线的方向向量与平面的法向量共线或平行方向向量a对直线的方向向量和平面的法向量的几点认识(1)空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个方向确定．在直线l上取AB→＝a，a可以作为l的方向向量，借助点A和a即可确定直线l的位置，并能具体表示出直线l上的任意一点．(2)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．(3)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．空间中平行关系的向量表示线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔_______线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔_______面面平行设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔____________a＝λba·u＝0u∥v⇒u＝λv空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔_____设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔_____若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔______a⊥ba∥uu·v＝0对空间垂直关系的几点认识空间中的垂直关系包括线线垂直、线面垂直和面面垂直，这几种垂直关系是可以相互转化的，判定或证明垂直关系的方法主要是用判定定理或直线的方向向量、平面的法向量间的关系进行的．1．若直线l的方向向量为a＝(－1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0,4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析：∵a＝(－1,0,2)，n＝(－2,0,4)，n＝2a，∴n∥a，∴l⊥α.答案：B2．若平面α，β的法向量分别为m＝(－1,2,4)，n＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为()A．10B．－10C.12D．－12解析：若α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，即m·n＝0，即(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10，故选B.答案：B3．已知平面α上两个不共线向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为________．解析：设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，由a·n＝0b·n＝0得2x＋3y＋z＝0，5x＋6y＋4z＝0，令x＝1得y＝－12，z＝－12.答案：1，－12，－124．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，所以CE⊥平面ABCD.如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则C(0,0,0)，A(2，2，0)，B(0，2，0)，D(2，0,0)，E(0,0,1)，F22，22，1.(1)设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，于是G22，22，0，从而EG→＝22，22，－1，又AF→＝－22，－22，1＝－EG→，所以AF→∥EG→.因为AF与EG不共线，所以AF∥EG，又EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)由于CF→＝22，22，1，BE→＝(0，－2，1)，DE→＝(－2，0,1)，所以CF→·BE→＝0－1＋1＝0，CF→·DE→＝－1＋0＋1＝0，所以CF⊥BE，CF⊥DE，又BE∩DE＝E，所以CF⊥平面BDE.合作探究课堂互动正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，求平面EFBD的一个法向量．求空间平面的法向量思路点拨：建立空间直角坐标系→相关点坐标→DB→，DE→坐标→设法向量n＝x，y，z，由n·DB→＝0n·DE→＝0得方程组→赋值解方程组得结果解析：建系如图：则D(0,0,0)，B(2,2,0)，E(1,0,2)，∴DB→＝(2,2,0)，DE→＝(1,0,2)．设平面EFBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，∴n·DB→＝0n·DE→＝0⇔2x＋2y＝0，x＋2z＝0，∴y＝－x，z＝－12x.令x＝2，则可解得：y＝－2，z＝－1，∴n＝(2，－2，－1)即为所求平面EFBD的一个法向量．(1)平面法向量的求解四步骤要确定一个平面的法向量，通常是在空间直角坐标系中，求出平面法向量的坐标，一般步骤如下：(2)求平面法向量的常见类型①已知平面内三个点的坐标，求这三个点确定的平面的法向量；②一个几何体中存在线面垂直关系，在建立空间直角坐标系后，平面的垂线的方向向量即为平面的法向量；③在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行的向量，然后求平面的法向量．1．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．解析：∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴AB→＝(1，－2，－4)，AC→＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量是n＝(x，y，z)，依题意，得n·AB→＝0且n·AC→＝0，即x－2y－4z＝0，2x－4y－3z＝0，令y＝1，则x＝2，z＝0.∴平面α的一个法向量是n＝(2,1,0)．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点，证明：PQ∥RS.用向量证明平行问题思路点拨：建立空间直角坐标系→求出相应点的坐标→PQ→，RS→的坐标→PQ→∥RS→⇒结论建系如图：则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，∴PQ→＝(－3,2,1)，RS→＝(－3,2,1)，∴PQ→＝RS→⇒PQ→∥RS→，∴PQ∥RS.用向量方法证明空间中的平行关系线线平行设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R)线面平行①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.②根据线面平行判定定理，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．③证明一条直线l与一个平面α平行，只需证明l的方向向量能用平面α内两个不共线向量线性表示面面平行①转化为相应的线线平行或线面平行．②求出平面α，β的法向量u，v，证明u∥v，即可说明α∥β2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.证明：证法一：∵B1C→＝A1D→，B1∉A1D，∴B1C∥A1D，又A1D⊂面ODC1，∴B1C∥面ODC1.证法二：∵B1C→＝B1C1→＋B1B→＝B1O→＋OC1→＋D1O→＋OD→＝OC1→＋OD→.∴B1C→，OC1→，OD→共面．又B1C⊆面ODC1，∴B1C∥面ODC1.证法三：建系如图，设正方体的棱长为1，则可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，O12，12，1，C1(0,1,1)，B1C→＝(－1,0，－1)，OD→＝－12，－12，－1，OC1→＝－12，12，0.设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则n·OD→＝0，n·OC1→＝0，得－12x0－12y0－z0＝0，－12x0＋12y0＝0，令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)．又B1C→·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，∴B1C→⊥n，∴B1C∥平面ODC1.用向量证明垂直问题正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，在侧棱BB1上取BD＝a2，在侧棱CC1上取CE＝a，求证：平面ADE⊥平面ACC1A1.思路点拨：建系→相关点坐标→相关向量坐标→求平面ADE，平面ACC1A1的法向量n1，n2→n1·n2＝0→结论设O为AB的中点，F为A1B1的中点，以OC，OB，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则有：A0，－a2，0，B0，a2，0，C32a，0，0，D0，a2，a2，E32a，0，a，2分∴AD→＝0，a，a2，AC→＝32a，a2，0，AE→＝32a，a2，a.设面ADE的一个法向量为n1＝(x，y，z)，由n·AD→＝0n·AE→＝0⇔ay＋a2z＝0，32ax＋a2y＋az＝0.6分令y＝1可得：x＝3，z＝－2，∴n1＝(3，1，－2)．同理可以求出平面ACC1A1的一个法向量为n2＝(－1，3，0)．∵n1·n2＝(3，1，－2)·(－1，3，0)＝－3＋3＝0，10分∴n1⊥n2，∴平面ADE⊥平面ACC1A1.12分空间中垂直关系的证明方法(1)线线垂直：①可以证明两直线的方向向量的数量积为0.②可以证明两直线所成角为直角．(2)线面垂直：①根据判定定理转化为线线垂直．②证明直线的方向向量与平面的法向量平行．(3)面面垂直：①根据判定定理证明线面垂直．②证明两个平面的法向量垂直．3．已知M，N，P分别是正方体ABCD－A1B1C1D1中的棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1P⊥平面DMN.证明：证法一：如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则有D(0，0,0)，A1(2,0,2)，P(0,1,0)，M(0,2,1)，N(1,2,0)．∴A1P→＝(－2,1，－2)，DM→＝(0,2,1)，DN→＝(1,2,0)，∴A1P→·DM→＝0，A1P→·DN→＝0.∴A1P⊥DM，A1P⊥DN，又DM∩DN＝D，∴A1P⊥平面DMN.证法二：如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则有D(0，0,0)，A1(2,0,2)，P(0,1,0)，M(0,2,1)，N(1,2,0)，∴A1P→＝(－2,1，－2)，DM→＝(0,2,1)，DN→＝(1,2,0)，设n＝(x，y，z)是平面DNM的一个法向量，则n·DM→＝0，n·DN→＝0，即x，y，z·0，2，1＝0，x，y，z·1，2，0＝0，令y＝1得x＝－2，z＝－2，∴n＝(－2,1,2)，∴A1P→＝n，∴A1P→∥n，∴A1P⊥平面DMN.◎已知u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若u＝(4,1，5)，a＝(2，－8,0)，试判断l与α的位置关系．【错解】∵u·a＝8－8＝0，∴u⊥a，∴l∥α.【错因】错解中忽视了直线与平面平行