第四节、有理函数的积分

第四节有理函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中m、n都是非负整数；naaa,,,10及mbbb,,,10都是实数，并且00a，00b.一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn这有理函数是真分式；,)2(mn这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例1123xxx.112xx难点将有理函数化为部分分式之和.（1）分母中若有因式，则分解后为kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中kAAA,,,21都是常数.特殊地：,1k分解后为;axA（2）分母中若有因式，其中kqpxx)(2则分解后为042qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk21222211)()(其中iiNM,都是常数),,2,1(ki.特殊地：,1k分解后为;2qpxxNMx真分式化为部分分式之和的待定系数法6532xxx)3)(2(3xxx,32xBxA),2()3(3xBxAx),23()(3BAxBAx,3)23(,1BABA,65BA6532xxx.3625xx例12)1(1xx,1)1(2xCxBxA)1()1()1(12xCxBxxA代入特殊值来确定系数CBA,,取,0x1A取,1x1B取,2xBA,并将值代入)1(1C.11)1(112xxx2)1(1xx例2例3.1515221542xxx)1)(21(12xx),21)(()1(12xCBxxA,)2()2(12ACxCBxBA,1,02,02CACBBA,51,52,54CBA,1212xCBxxA)1)(21(12xx整理得例4求积分.)1(12dxxx例5求积分.)1)(21(12dxxx说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：)1(多项式；;)()2(naxA;)()3(2nqpxxNMx讨论积分,)(2dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx令tpx2,422pqa,2MpNb则dxqpxxNMxn)(2dtatMtn)(22dtatbn)(22,222atqpxx,bMtNMx记,1)2(ndxqpxxNMxn)(2122))(1(2natnM.)(122dtatbn这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.,1)1(ndxqpxxNMx2)ln(22qpxxM;2arctanCapxab三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx2sec2tan22xx,2tan12tan22xx,2sin2coscos22xxx二、三角函数有理式的积分2sec2tan1cos22xxx,2tan12tan122xx令2tanxu,12sin2uux,11cos22uuxuxarctan2duudx212dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR（万能置换公式）例6求积分.cossin1sindxxxx解,12sin2uux2211cosuux,122duudx由万能置换公式dxxxxcossin1sinduuuu)1)(1(22duuuuuu)1)(1(112222duuuuu)1)(1()1()1(222duuu211duu11uarctan)1ln(212uCu|1|ln2tanxu2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx例7求积分.sin14dxx解（一）,2tanxu,12sin2uux,122duudxdxx4sin1duuuuu46428331Cuuuu]33331[8133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx解（二）2cot,cscuxduxdx令则441cscsindxxdxx22(1cot)cscxxdx2(1)udu3()3uuC3cot(cot)3xxC特别注意对于三角函数有理式的积分,万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.1sin.d.1sinxxx例2求sind11..2sincosxxIxx例求sind11..2sincosxxIxx例求讨论类型),,(nbaxxR),,(necxbaxxR解决方法作代换去掉根号.例8求积分dxxxx11解令txx1,12txx三、简单无理函数的积分,112tx,1222ttdtdxdxxxx11dttttt2221211222tdttdtt11122Cttt11ln2.11ln122Cxxxxx例9求积分.1113dxxx解令16xt,65dxdttdxxx3111dtttt52361dttt163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.例10求积分.1213dxxxx解先对分母进行有理化原式dxxxxxxxx)1213)(1213()1213(dxxx)1213()13(1331xdx)12(1221xdx.)12(31)13(922323Cxx简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）四、小结第五节积分表的使用（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表.（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的.（4）积分表见《高等数学》（五版）上册（同济大学数学教研室主编）第347页．（3）求积分时，可根据被积函数的类型直接或经过简单变形后，查得所需结果.一、关于积分表的说明例1求.)43(2dxxx被积函数中含有bax在积分表（一）中查得公式（7）Cbaxbbaxadxbaxx||ln122现在4,3ba于是.434|43|ln91432Cxxdxxx二、例题例2求.cos451dxx被积函数中含有三角函数在积分表（十一）中查得此类公式有两个224,5baba选公式（105）将代入得4,5baxbadxcosCxbababababa2tancot2ardxxcos451.2tan3cot32Cxar例3求.942xxdx表中不能直接查出,需先进行变量代换.令ux2222394ux942xxdx223221uudu223uudu被积函数中含有,322u在积分表（六）中查得公式（37）22axxdxCaxaxa22||ln1223uuduCuu2233||ln31将代入得xu2942xxdx.943||2ln312Cxx例4求.sin4xdx在积分表（十一）中查得公式（95）xdxnsinxdxnnnxxnn21sin1cossin利用此公式可使正弦的幂次减少两次,重复使用可使正弦的幂次继续减少,直到求出结果.这个公式叫递推公式.现在4n于是xdx4sinxdxxx23sin434cossinxdx2sin对积分使用公式（93）xdx2sinCxx2sin412xdx4sin434cossin3xx.2sin412Cxx说明初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数.例,2dxex,sindxxx.ln1dxx将分式分解成部分分式之和时应注意什么？思考题思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式.在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？思考题思考题解答注意前后几次所选的应为同类型函数.u例xdxexcos第一次时若选xucos1xdxexcosdxxexexxsincos第二次时仍应选xusin2