弹塑性力学第二章课件

第二章弹性力学基本理论§2-1一点的应力状态§2-2平衡微分方程与应力边界条件§2-3几何方程§2-4应变协调方程§2-5物理方程§2-6弹性力学的基本方程及其边值问题§2-7弹性力学问题的基本解法解的唯一性定理§2-8圣维南原理§2-1一点的应力状态面力体力集中力应力一点处应力状态的描述方法.一、一点处应力状态的张量表示一点的应力状态可以用9个应力分量来表示。应力的第一个下标表示作用面方位，第二个下标表示它的方向。（正应力的2个下标相同简写为1个）正负号规定：当微分面外法线指向与坐标轴正方向一致时，这些应力分量以沿坐标轴正方向为正；当微分面外法线指向与坐标轴负方向一致，则这些应力分量以沿坐标轴负方向为正。与上述情况相反，则为负的应力。由于切应力互等，上述9个分量中只有6个是独立的。zzyzxyzyyxxzxyxij333231232221131211ij所谓张量是指在坐标变换时，按某种指定形式变化的量。在给定的受力情况下，各应力分量的大小与坐标轴的方向有关，而它们作为一个整体用来表示一点应力状态的这一物理量(称为应力张量)则与坐标的选择无关，张量的分量随坐标的变换而变化。应力张量是二阶对称张量。6个应力分量将完全确定一点的应力状态。应力张量nmlfnmlfnmlfzyzxznzzyyxynyzxyxxnx二、斜截面上的应力injnfij2-6已知物体内一点的六个应力分量为试求法线方向余弦为的微分面上的总应力fn，正应力n和切应力n。25zy25xm/N10300,0,m/N1050025xz25yzm/N10800,m/N1075025xym/N10500212121n,m,l§2-2平衡微分方程与应力边界条件一、平衡微分方程纳维（Navier）方程22yz22y22x0y0y0twFzxtvFzxtuFzyxzzxzyzxxyxzxyx22,0tuFjjiiju，v，w称为位移分量二、应力边界条件nmlfnmlfnmlfzyzxzzzyyxyyzxyxxxijijfnA点平衡，图（b），得：0,jiijFjiijB点平衡得：ijijfn注意！应力分量在物体内满足平衡微分方程、在边界上满足应力边界条件，这是物体平衡的充分必要条件，但必须指出，这仅仅是静力上可能的平衡。应力分量不仅要满足平衡条件，还要满足变形协调条件。2-2试叙述平衡微分方程和静力边界条件的物理意义，满足平衡微分方程和静力边界条件的应力是否是实际存在的应力？为什么？2-11一个任意形状的物体，其表面受均匀压力p作用，如果不计其体力，试验证应力分量是否满足平衡微分方程和该问题的应力边界条件？0xyzxyzzyx,p§2-3几何方程几何方程柯西（Cauchy）方程yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzxzyyzx,,,,21yzyz,21xzxzxyxy21ijjiijuu,,21zyzxzzyyxyzxyxxij212121212121一、应变张量如不计物体的刚体运动部分，在小变形假设的前提下，由物体变形而引起的微分六面体在方位上的转动是极其微小的，见图（a）。因而在推导位移分量与应变分量之间的几何关系式时，用这三条棱边在坐标平面上的投影长度代替它们的实际长度，用它们在坐标平面投影之间的夹角代替实际的夹角，这样的处理不会引起明显的误差，见图（b）。xudxdxdxxudxmamaamMAMAAMxyxxyxyambAMB22xvxuxvxxuxvxxvvamaayxyx1tandddxvyx几何意义?§2-4应变协调方程几何方程表明：六个应变分量是通过三个位移分量表示的，显然，六个应变分量不是互不相关的。六个应变分量必须满足一定的条件。从几何方程中消去位移分量。yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzxzyyzx,,,ijjiijuu,,21（2-6）应变协调方程推导（1）由方程（2-6）的第一式和第二式分别对y及x求二阶偏导数，然后相加，再注意到方程（2-6）的第六式，则有yxyuxvyxyxxyxy222222yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzxzyyzx,,,应变协调方程推导（2）由方程（2-6）中的第四、第五和第六式分别对x，y，z求一阶偏导数，然后，对第一个等式两边冠以负号，再与后两式相加，得yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzxzyyzx,,,zyu2zyx2xyxzyz应变协调方程推导（3）为了进一步消除上式右端的位移分量u，将上式两边对x求一阶偏导数，再注意到式（2-6）的第一式，便有yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzxzyyzx,,,zyu2zyx2xyxzyzzyzyxxxxyxzyz22§2-4应变协调方程应变协调方程，又称圣维南（SaintVenant）方程。其中，eijk为笛卡儿坐标系中的置换张量，当i，j，k按1，2，3；2，3，1；3，1，2顺序排列时为+1；当按逆序排列时为-1；当有两个或者三个指标重复时为零。m和n有6个不同的选择，即mn=11，22，33，12，23，31。由此可得方程yxzyxzzxzyxyzyzyxxyxyxzxxzzyzyzxyxzyzyxyxzyzxxyxzyzxyxyxzzxyzyz2222222222222222222220lnjikmkl,ijee§2-5物理方程一、以应力表示应变的广义虎克定律二、以应变表示应力的广义虎克定律三、以体积应变表示体积应力的虎克定律一、以应力表示应变的广义虎克定律xyxyyxzxzxzzxyyzyzzyxEEEEEE12],[112],[112],[1zyx]1[1ijijkkijE二、以应变表示应力的广义虎克定律λ，μ称为拉梅（Lamé）弹性系数xyyzzzxzxzyyyzyzxx,2,2,2zyx称为体积应变xyyzzzxzxzyyyzyzxx,2,2,2E21zyx称为体积应力)1(2,)21)(1(EEGE是杨氏（Young）弹性模量，是泊松（Poisson）比。G为剪切弹性模量三、以体积应变表示体积应力的虎克定律§2-6弹性力学的基本方程及其边值问题22yz22y22x0y0y0xtwFzxtvFzxtuFzyzzxzyzxxyxzxyxyuxvwxwzuyvzvywuzyxxyxzyz,z,,xxyxyyxzxzxzzxyyzyzzyxEEEEEE12],[112],[112],[1zyxxyzxzyyzxGGGGGGxyzxzyyzx,2,2,2平衡（运动）微分方程几何方程——应变和位移的关系物理方程——应力和应变的关系三类边界条件（1）在全部边界上已知面力（弹性力学的第一类边值问题）（2）在全部边界S上已知边界位移（弹性力学的第二类边值问题）（3）在部分边界Sσ上已知面力，在另一部分边界Su上已知边界位移（弹性力学的第三类边值问题，又称混合边值问题。)如不考虑物体的刚体运动，则三类边值问题的解是唯一的。对于弹性动力学问题，还须给出问题的初始条件。ijijfniiuuijijfniiuu（在S上）（在S上）（在Su上）（在Sσ上）应变协调方程?§2-7弹性力学问题的基本解法解的唯一性定理一、位移解法以位移表示的平衡（或运动）微分方程二、应力解法以应力表示的应变协调方程三、解的唯一性定律逆解法和半逆解法一、位移解法以位移表示的平衡（或运动）微分方程22yz22y22x0y0y0xtwFzxtvFzxtuFzyzzxzyzxxyxzxyxyuxvGzwGxwzuGyvGzvywGxuGxyzxzyyzx,2,2,2zwyvxu2222222zyx拉普拉斯（Laplace,p.-S.）算子2222222220z00xtwFwGGtvFvGyGtuFuGGzyx位移表示的平衡微分方程，称为拉梅方程位移解法2222222220z00xtwFwGGtvFvGyGtuFuGGzyx边界条件用位移分量表示二、应力解法以应力表示的应变协调方程应力解法则以应力分量作为基本未知量，前面已说过，应力分量必须满足平衡微分方程以及静力边界条件，这是保证物体的平衡的充要条件，但这仅仅是静力上可能的平衡，不是实际存在的平衡，这组应力分量也不一定是真正的应力，而真正的应力不仅要满足平衡微分方程与静力边界条件，还要求与这组应力分量相应的应变分量满足应变协调方程，这样才能既满足了物体的平衡又满足了物体的连续，由此可知，应变协调方程在应力解法中是十分