福建省高等代数(线性代数)教学研讨会

福建省《高等代数（线性代数）》教学研讨会消元法与中国古代方程论辛林福建师大数学与计算机科学学院作为线性代数的基本方法，消元法是重要的方法之一。这一方法也常称为高斯-约当消元法。1、线性方程组，通过“消元”，转化为同解的三角形方程组，从而导出方程组的解。2、矩阵计算中，通过“消元”，转化为可判断的标准形，可用于计算矩阵秩、矩阵的逆阵等。3、行列式计算中，通过“消元”，转化为上（下）三角形，从而计算出行列式的值。高斯简介高斯（GaussC.F.1777.4.30-1855.2.23）德国数学家、物理学家、天文学家。高斯是近代数学奠基人之一，在历史上影响很大，足以与阿基米德、牛顿、欧拉并列。1795年18岁进入哥丁根大学学习，第二年就发现正十七边形的尺规作图法，1799年获博士学位，证明了代数基本定理，还发明了最小二乘法原理，还将数学应用于天文学、大地测量学和磁学等。其数学研究几乎遍及数学的所有领域，一生中共发表155篇论文，还有许多作品在生前并未发表，如椭圆函数的双周期性的发现，非欧几何等。高斯-约当消元法早期人们对高斯消元法一直用于大地测量学，因此被认为测地学发展的一部分。高斯消元法最早出现在WilhelmJordan撰写的测地学手册中。为此人们通常将其称为高斯-约当消元法。这里的WilhelmJordan不是法国数学家CamilleJordan(后者有约当标准形，Jordan-Holder定理等)公元前3世纪，算筹已经普遍使用，算筹记数法采用十进位值制，这是世界上最早使用十进位值制的记数体系之一:如下是竖式和横式两种1-9数字奇数位用竖式，偶数位用横式，零置空|||||||||||||||《孙子算经》（公元4世纪）描述算筹记数法：一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。例：为表示548，则算筹记数是|||||到了汉代出现正数用红筹而负数用黑筹，到15世纪珠算普及前，算筹制度在中国沿用了2000多年。古语：“运筹帷幄”早先就是刻画数学家有非常的筹算能力算经十书《周髀算经》，《九章算术》《海鸟算经》，《孙子算经》《张邱建算经》，《五曹算经》《五经算术》，《辑古算经》《数术记遗》(原《缀术》)，《夏侯阳算经》下面是《九章算术》中典型的盈亏问题：“今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价各几何？”最优秀之作《九章算术》：全书九章，共246题。本题含义：今有若干人共买一物，若每人出8元，则剩余3元；若每人出7元，则差4元；问共有多少人，该物多少价？如果用现代代数方程的方法，可得如下解：设x人，物价为y,则得线性方程组8x-y=3y-7x=4但古代线性方程组是《九章算术》又例：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何？注：题中的“禾”为黍米，“秉”为捆，“实”为打下来的粮食。按现代方程求解：若设上中下禾各一秉打出的粮食分别为x,y,z斗，则按现代线性方程组形式就是3x+2y+z=392x+3y+z=34x+2y+3z=26但按古代应立方程：用算筹列式如下：中国古代数学泰斗刘徽（公元263年左右）称这类问题是“群物总杂，各列有数，总言其实”，处理方法是“令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。”就是说，将这些数按类一行一行的列出来，有几个未知数就排上几行，各行称之为率，可以按比例扩大或缩小，刘徽把这样的数字方阵称为“方程”。刘徽创造了“遍乘直除法”解线性方程组.“遍乘直除”，实际上相当于现在的线性方程组上进行“倍法变换”然后再“消法变换”。因此“遍乘直除”实际上是进行一种“消元法”，而方程组的目标也是“化上三角形”，故这是典型的“高斯-约当消元法”.遍乘直除法对非线性方程表示及解法当属元朝数学家----李冶、朱世杰的方法出名。李冶：1192-1279.代表作：《测圆海镜》《益古演段》。方程未知数称为天元，求解方程求未知数的算法称为天元术。常数项旁置一“太”，一次项旁置一“元”.如221281050xx元增乘开方法朱世杰（13世纪末-14世纪初），著有《算学启蒙》和《四元玉鉴》.他创造以“天地人物”四元建立四元高次方程，并以娴熟的“剔销”、“易位”、“互隐通分”、“内外行乘积”等多种方法进行消元计算。朱世杰的具体做法是：立天元一为勾，地元一为股，人元一为弦，物元一为开数.太地天人物太yxzw..xzyzxwwy……....如：22230260xyzxyzxz太太参考文献杜瑞芝主编，数学史，山东教育出版社，2000年李文林，数学史教程，高等教育出版社，2000年张景中主编，好玩的数学（全套），科学出版社，2002年张顺燕，数学的源与流，高等教育出版社，2000年张顺燕，数学的美与理，北京大学出版社，2004年谢谢！