共形映射分式线性映射

第九讲共形映射分式线性映射1.曲线的切线2.导数的几何意义3.共形映射的概念§1共形映射的概念],[)(:ttzzC.移动的方向增大时点它的正向取zt1.曲线的切线.)()(000方向相同与向量则割线的方向向量ttzttzpp，的参数分别为对应取若ttPPCPPttz,,,,),,(,0)('00000设连续曲线)(tzz:Coxy(z)0PP方向。增大的对应于参数割线tpp0T)(tzz:Coxy(z)0PP的极限位置：割线方向pp0ttzttztzt)()(lim)('0000.0正向一致处的切向量且方向与在曲线—CpC).('arg,)(',),,(,0)('00000tztzzCttz它的倾角就是切向量有切线在则曲线若~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~.)(')1(00方向之间的夹角轴正向与处切线的点曲线正在xzCtArgz定义切线随切点的移动而连续转动的有向曲线称为有向光滑曲线.之间的夹角.就是它们的两条切线两曲线正向之间的夹角交点处若曲线向正在,)2(021zCC相交于点与曲线:2C)(2tzz)(1tzz:1Coxy(z)0z~~~~~~~~~~2.解析函数导数的几何意义(辐角和模),0)(',,)(00zfDzDzfw且内解析在区域设],[)(::0ttzzCzD　　　　引一条有向光滑曲线内过在.)(00增大方向的曲线，正向取过点—tzfw)(),(000tzzt取0)('0tz则)]([:)(:)(tzfwwtzzCzzfw平面上平面上~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0)(')(')('000tzzftw)(')(')('000tArgzzArgftArgw　　　　　　记)(')(')('000tArgztArgwzArgf即(1)即)(tzz:Co(z)xyov(w)u)]([tzfw:)(zfw'TT0z0w.,))((,0记作的转动角在点经映射原曲线间的夹角为正向之线的切线正向与映射后曲称曲线轴的正向相同轴与轴和轴与若视zzfwCCvyux~~~~~~~)(')(')('000tArgztArgwzArgf即'TuxT0z0w则有关及点仅与映射式由,)()1(0zzfw的几何意义(1)导数幅角Argf'(z).)()0)(')(('000的转动角映射后在点经过是曲线①zzfwCzfzArgf~~~~~~~~~.,　动角的不变性转这种性质称为映射具有与方向无关的形状的大小及方向与曲线转动角②C~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2.,),2,1()()()2,1(,)2,1(21000的夹角为的曲线下映射为相交于点在变换的夹角为在点设izfwzfwiCziCiiioxy(z)1C2C10z)(zfw122112ovu(w)0w1212)2,1()1(iii有，由式——保角性12由上述讨论我们有不变的性质线间夹角的大小与方向这种映射具有保持两曲保角性),,(),(,,2121210)(210CCwCCzzfw的过的过的几何意义(2)模f'(z).;,0000之间的弧长与上的对应点表示之间的一段弧长与上的点表示用且设wwzzCse1lim1lim00wszz)3(limlim)('000szsswzfzz的在称之为曲线00)('zCzf.伸缩率Co(z)xyov(w)u)(zfw0z0wzzwws均不变处点在同一时沿任何曲线作映射的形状方向无关而与曲线有关及与映射易见)(',,,)()(',0000zfAzfzzfwzf.伸缩率不变性3.共形映射的概念.)()(,)(0000是共形映射在为共形的，或称在则称映射变性具有保角性和伸缩率不的邻域内有定义，且在在设zzfwzzfwzzzfw~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定义.)()(内是共形映射在区域则称内每一点都是共形的，在若DzfwDzfw~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~:由定义及以上分析有为伸缩率。为转动角且映射，保角是共形点解析且在若)(',)(')()(,0)(')(0000zfzArgfzfwzfzzfw定理若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映射。从而，定义中的共形映射称为第一类共形映射。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0)(')()(0000zfzfwDzDzzfw设（忽略高阶无穷小）（忽略高阶无穷小）)(':)(')(')()(00)(000000zfwwzzzzfwzfzzzfzfzwzfwzz那么圆又射的原因.这就是为什么称共形映1.分式线性映射的定义2.分式线性映射的性质§2分式线性映射1.分式线性映射的定义定义.,,,,是复常数其中称为分式线性映射dcba)1()0(bcaddczbazw映射~~~~~~~~~~~~~。是必要的0bcad).(0'常数复否则cww2)(')1(dczbcadw:)2(上有定义数在整个扩充平面补充定义使分式线性函.0//0wzczcacdzwc时，定义，在，时时当当为双线性映射.故又称,逆映射仍为分式线性的则,dczbazwbcadacwbdwzdczbazw0))(()3(~~~~~~~~~~分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊映射的复合：zwiiiaazwiibzwi1)()0()()(称为：平移整线性反演)(11)()(caBcadbcABdczAdczcadbccacdzccadbcdzawBAzdbzdawdczbazwc，时当0，时当0c事实上，),(复常数BA.1,2121复合而成和由BAwdczdczbazwbzwi)(.21是一个平移映射故bzwbyvbxuazwii)(.,)(射是旋转和伸缩合成的映倍后就得或缩短伸长再将先转一个角度把azwwazz~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~21ibbbiyxzivuw设)(,iiierwearez则设~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~见图）关于圆的对称点名词介绍(:.','',2对称于圆周关与则称满足若在半直线上有两点rzppropoppp定义~~~~~~~~roxyP'P规定无穷远点的对称点为圆心o~~~~~~~~~~~~~~~~~?'呢的对称点找到关于圆周如何由przp.',',',,,即互为对称点与那么交于与的垂线作由连接切线作圆周的从在圆外设pppopTpopToppTppo'PTPzwiii1)(11,1wwzw令iierwwerzw11111)sin(cos)sin(cosirrezirrezii设;,1111在同一射线上与wzrrwz).()2.1)111见图关于实轴对称的点即得作出点的对称点关于圆周作出点1ox,uy,v1wzw的几何作图zw1.1,1对称关于zwz2.分式线性映射的性质.,性质出一般分式线性映射的从而得射的性质先讨论以上三种特殊映保角性)1(的情况对于zwiii1)(wzwzwzwzarg,arg;111111若通常称为反演变换因此映射zw1)2§(0;0)()(见第一章wzwzzfwzfw)0(1'2zzw又.,1,即为一共形映射形的在扩充复平面上处处共映射处夹角的定义后适当规定zw)0()(),(abazwiii的复合映射对.0)'('是共形映射abazw:,有以下结论而成的三种特殊映射复合由于分式线性映射是由（详见P195）~~~~~~~~~定理1.,且具有保角性对应的平面上是一一分式线性映射在扩充复保圆性)2(LwlzwCzbazwbazwbazw平面上的直线平面上的直线平面上的圆周平面上的圆周伸缩的合成映射旋转是平移.,,.,,即具有保圆性圆周映射成在扩充复平面上把圆周那么穷大的圆周若把直线看作是半径无bazw~~~~~~~0,0,1)(/1/1zwzwzzzwiii对于,1ivuzwiyxz令2222yxyvyxxu2222vuvyvuux或得代入将zwiyxz10)(:0)(:22221acvbuvuddcybxyxaCzw直线直线圆周直线直线圆周圆周圆周CdaCdaCdaCda0,00,00,00,.,具有保圆性那么反演变换就的圆把直线看成是半径为.,即具有保圆性平面上的圆周成扩充平面上圆周映射分式线性映射将扩充wz定理2保对称性)3(.,,2121的一对对称点是关于象圆与点它们的象在分式线性映射下对对称点的一平面上圆周是关于设点wwCzzz定理3在分式线性映射下，圆周或直线上没有点趋于无穷点，则它映射成半径为有限的圆周；若有一点映射成无穷远点，它映射成直线。作业•P2451,7,8(1)(5)