87《变化率与导数》优质课比赛课件

问题1气球膨胀率在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.(1)(0)0.62(dm/L),10rr当v由01时，气球平均变化率：(2)(1)120.16(dm/L)21rrv当由时，气球平均变化率：3343VV()(V).34rrr由气球体积（一）平均变化率当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?2121()()rVrVVV问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:v在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,);m/s(05.405.0)0()5.0(hhv);m/s(2.812)1()2(hhv2()4.96.510httt思考：求t1到t2时的平均速度．2121()()StStvtt平均变化率令Δx=x2–x1,Δf=f(x2)–f(x1),则211121()()()()fxfxfxxfxfxxxx2121()()fxfxxx思考：平均变化率：表示的几何意义？211221()()fxfxfxfxxx平均变化率：式子称为到的平均变化率,.xxx是一个整体符号而不是与相乘可为正，也可为负oxyBCBCxxyyk容易看出点B,C之间的曲线较点A,B之间的曲线更加“陡峭”.如何量化陡峭程度呢？该比值近似量化B,C之间这一段曲线的陡峭程度.称该比值为曲线在B,C之间这一段平均变化率.●B●A●C说明:(1)平均变化率就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.（以直代曲思想）（数形结合思想）“数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗庚平均变化率)(xf一般的，函数在区间上的平均变化率为],[21xx其几何意义是表示曲线上两点连线(即曲线割线)的斜率结论：yx2121()()fxfxxx例1、已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率.例2、已知函数f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：（1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001].432.12.001（5）[0.9,1]；（6）[0.99,1]；（7）[0.999,1].变题:1.991.91.999思考:为何趋近于2呢？2的几何意义是什么？数学应用xyp13（二）、导数的概念在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢?平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth求：从2s到(2+Δt)s这段时间内平均速度(2)(2)13.14.9hhthvtttΔt0时，在[2+Δt,2]这段时间内Δt0时,在[2,2+Δt]这段时间内1.139.4tv1.139.4tv当Δt=–0.01时,当Δt=0.01时,当Δt=–0.001时,当Δt=0.001时,当Δt=–0.0001时,当Δt=0.0001时,Δt=–0.00001,Δt=0.00001,Δt=–0.000001,Δt=0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth…………13.149v0951.13v1049.13v13.10049v099951.13v100049.13v13.1000049v13.051v13.09951v13.0999951v当Δt趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值–13.1.1.13)2()2(lim0ththt从物理的角度看,时间间隔|Δt|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1.v表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.v从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度13.14.9hvtt探究:1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?5.68.9)5.68.99.4(lim)5.68.9()(9.4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是xfxxfxxfxxlim)()Δ(lim0000称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作)(0xf或,即0|xxy0000(Δ)()()lim.xfxxfxfxx。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(.1xxxf的具体取值无关。与xxf)(.20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同.3求导数一般方法：0limxyyyxx一差、二比、三极限题1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.C解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是(2)f(6).f和xfxf)2()2(根据导数的定义,37)(42xxxxx所以,.3)3(limlim)2(00xxffxx同理可得.5)6(f在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.CC例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.典例分析.,21|',:2000的值求且处附近有定义在已知函数例xyxxxyxx练习：(1)求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数(2)已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a.练1:求y=f(x)=x2+1在x=1处的导数.QPy=x2+1xy-111OjMyx00002020()():limlim(1)1(11)lim2()lim2.xxxxfxxfxyxxxxxxx解'(1)2f1.曲线的切线βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角..tan,,:xyyMQxMP则.就是割线的斜率表明：xyPQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:xxfxxfxykxx)()(limlimtan0000切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.注意,曲线在某点处的切线:(1)与该点的位置有关；(2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:(1)先利用切线斜率的定义求出切线的斜率(2)利用点斜式求切线方程.例2:已知曲线上一点P(1,2),用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程.222xy,22)1(2)1()1(,lim:20xfxfyxyKxP而解2002(1)22limlimxxxyxxtan1,45,PK故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.练习:求曲线上一点P(1,-1)处的切线方程.31xy答案:y=3x-4.22042()lim[2(1)22]xxxxx2044lim1.21222(1)22xxxyx-2-112-2-11234OP313yx.])(33[lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)点P处切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.练习：如图已知曲线上一点31()3fxx(2,(2)).Pf求(1)点处的切线斜率；(2)点处的切线方程.PP小结：1求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)(2)求平均速度（3）求极限;svt00()().limlimxxssttsttt2由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)(2)求平均变化率（3）求极限yx'00()limxyfxx教材例题2~377~79P