非性线性连续系统李雅普诺夫第二方法稳定性分析

1非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性分析2目录1、前言.........................................................................................................................(7)1.1发展状况........................................................................................（7）1.2Lyapunov稳定性实际应用............................................................................（7）1.3Lyapunov应用研究现状................................................................................（9）1.4Lyapunov关于稳定性定义..........................................................................（10）1.5Lyapunov第一方法.......................................................................................（11）2、非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性分析...........................................（13）2.1引言.............................................................................................................（13）2.2问题描述......................................................................................................（13）2.3Lyapunov第二方法直观解释......................................................................（13）2.4标量函数的符号性质..................................................................................（14）2.5Lyapunov第二方法相关定理......................................................................（14）2.6非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性分析......................................（16）3、仿真示例............................................................................................................（20）4、总结与展望........................................................................................................（23）致谢........................................................................................................................（24）参考文献................................................................................................................（25）3摘要对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此Lyapunov第二方法就显示出很大的优越性。Lyapunov第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。Lyapunov第二方法的局限性在于，运用时需要系统的稳定性问题。现在，随着计算机技术的发展，借助数字计算机不仅可以找到所需要的Lyapunov函数，而且还能确定系统的稳定区域。本文主要通过分析李雅普诺夫当前发展状况和在实际中的应用，进而研究非线性连续系统Lyapunov第二方法的稳定性分析。关键字：非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性4AbstractDirectlydeterminethestabilityofsystemstateequation.Thelimitationsoflyapunovsecondmethodisthattheneedwhenusingthestabilityofthesystemproblem.Now,withthedevelopmentofcomputertechnology,withtheaidofadigitalcomputercanfindnotonlytheneedoflyapunovfunction,butalsocandeterminethestabilityregionsofthesystem.Inthispaper,byanalyzingthelyapunov'scurrentdevelopmentstatusandapplicationintheactual,andstudythenonlinearstabilityanalysisofcontinuoussystemlyapunovsecondmethod.Keywords：Stabilityofnonlinear;continuoussystem;Lyapunovsecondmethod51前言（Introduction）1.1Lyapunov发展状况Lyapunov稳定性理论能同时适用于分析定常系统和时变系统的稳定性、线性系统和非线性系统、，是更为一般的稳定性分析方法。Lyapunov稳定性理论主要指Lyapunov第二方法，又称Lyapunov直接法。Lyapunov第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。时变系统对非线性系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此Lyapunov第二方法就显示出很大的优越性。与第二方法相对应的是Lyapunov第一方法，又称Lyapunov间接法，它是通过研究非线性系统的线性化状态方程的特征值的分布来判定系统稳定性的。第一方法的影响远不及第二方法。Lyapunov第二方法是研究稳定性的主要方法，既是研究控制系统理论问题的一种基本工具，又是分析具体控制系统稳定性的一种常用方法。Lyapunov第二方法的局限性，是运用时需要有相当的经验和技巧，而且所给出的结论只是系统为稳定或不稳定的充分条件；但在用其他方法无效时，这种方法还能解决一些非线性系统的稳定性问题。现在，随着计算机技术的发展，借助数字计算机不仅可以找到所需要的Lyapunov函数，而且还能确定系统的稳定区域。但是想要找到一套对于任何系统都普遍使用的方法仍很困难。从19世纪末以来，Lyapunov稳定性理论一直指导着关于稳定性的研究和应用。不少学者遵循Lyapunov所开辟的研究路线对第二方法作了一些新的发展。一方面，Lyapunov第二方法被推广到研究一般系统的稳定性。例如，1957年，В．И．祖博夫将李雅普诺夫方法用于研究度量空间中不变集合的稳定性。随后，J.P.拉萨尔等又对各种形式抽象系统的Lyapunov稳定性进行了研究。在这些研究中，系统的描述不限于微分方程或差分方程，运动平衡状态已采用不变集合表示，Lyapunov函数是在更一般意义下定义的。1967年，D.布肖对表征在集合与映射水平上的系统建立了李雅普诺夫第二方法。这时，Lyapunov函数已不在实数域上取值，而是在有序定义的半格上取值。另一方面，李雅普诺夫第二方法被用于研究大系统或多级系统的稳定性。此时，v函数被推广为向量形式，称为向量Lyapunov函数。用这种方法可建立大系统稳定性的充分条件。1.2Lyapunov稳定性实际应用（1）对大学生体育素质稳定性的评估大学生体育素质的综合评估具有重要的理论意义和应用价值，尤其是对某个学生群体的综合评估具有很大的应用价值。影响大学生体育素质的因素有多个方面，包括教师水平、学6校设施、学生自身条件及时间、精力的投入等，这些都是受非随机干扰的随机性变量。因此，对特定大学生群体体育素质的稳定性评估需要着力研究。考虑这些情况，将李雅普诺夫稳定性理论运用于所研究内容。1982年，俄国数学力学家李雅普诺夫的博士论文《运动稳定性的一般问题》对运动稳定性给出严格的、精确的数学定义和解法，从而奠定了稳定性理论的基础。随后，经过近百年的发展，形成了一整套的稳定性的数学理论，并在实践中广泛应用。使用该理论进行稳定性评估是通过建立系统动态方程而后对其动态变化特性进行推导和分析。首先确定评估需要考察的内容，然后根据评估指标及其测度方法来表征相应内容。随后，基于李雅普诺夫稳定性理论，建立大学生体育素质的动态方程，最后列举评估实例说明方法有效性。（1）在目标识别效果评估中的应用目标识别具有重大的理论意义和应用价值，长期以来，对目标识别效果评估的研究相当有限：a.没有形成一种完整的、通用的评估理论；b.成熟的、可直接应用于实际工作的评估方法非常少；c.评估中没有将识别过程所处的条件有机地考虑进去。因此，效果评估成为目标识别中最迫切需要解决的重要问题。对这一方向进行研究，主要针对识别效果的稳定性进行研究。从整体上来说，目标识别系统融入了待识别目标、环境、识别处理系统，因此，它是一个复杂的大系统，在这中间的随机性因素很多，不确定性的因素也很多，研究识别效果在这样复杂情况下的稳定性具有重要的理论和实践意义。将Lyapunov稳定性理论运用于所研究内容，首先形成目标识别系统的动态模型，随后基于李雅普诺夫稳定性理论，可以分析目标识别系统的稳定性条件，并给出识别效果的动态变化示意图。利用Lyapunov稳定性理论进行目标识别系统识别效果稳定性分析的优势：a.理论依据充分，结论清晰明了；b.在一旦找出识别系统获得的目标特征信息变化规律及某些情况下的识别效果后，就可以进行全局的分析；c.评估方法具有通用性，可以适用于任意一种识别系统的评估。（2）在飞机空气动力和动力学方程中的应用飞机的稳定性是飞行动力学的重要组成部分,基于飞机空气动力和动力学方程的非线性，将Lyapunov稳定性分析方法应用于飞机在定常大迎角飞行状态的稳定性分析，该方法克服了小迎角的局限性，在某型号设计中得到了具体的应用7在航空科学发展的早期，飞机的机动性不高，飞行迎角不大，飞机气动力随迎角的变化保持很好的线性。因此，采用定常直线飞行基准状态的小扰动的假设，忽略运动方程的非线性影响，采用气动导数的方法来分析飞机的稳定性。由于这样处理具有方法简单，物理意义明显，模态特性可以按纵、横航向分开处理，在飞行动力学中得到了广泛应用。随着航空科学的进一步发展，越来越强调飞机的机动性、敏捷性。在高机动性飞机的飞行中，如快速滚转、快速拉升或俯冲，大过载盘旋，大迎角状态下气动力的非线性及纵、横向气动力的交叉，动力学方程中非线性因素的影响，是必须要考虑的。（4）基于信息熵的模糊控制系统稳定性的分析鉴于模糊控制系统稳定性分析方法的复杂性和不完善性，用信息论的观点思考这一问题。依据Lyapunov稳定性分析原理，通过引入信息熵的概念，对模糊控制系