第2章 随机过程的基本概念1

2随机过程的基本概念2.1引言与基本概念2.1.1引言数学模型确定性的函数无穷多个(一族)相关的随机变量(随机过程)随机变量(随机向量)概率论随机过程随机性方法确定性方法2随机过程的基本概念概率空间随机变量随机向量随机过程样本空间概率空间和随机对象2随机过程的基本概念•随机变量、随机向量是状态观察的结果•随机过程是过程观察的结果•对随机过程采样得到随机变量和随机向量随机对象所描述的客观对象的差别2随机过程的基本概念2.1.2基本概念☞定义1设(Ω,F,P)是概率空间，对每一个参数t∈T，X(t,)是一个随机变量，称随机变量族XT={X(t,),t∈T}为该概率空间上的一个随机过程(stochasticprocess)，或称为随机函数。随机过程X(t,)也记作XT()、X(t)、Xt。用映射可以表示为XTX(t,)：TR即X(•,•)是定义在T上的二元函数.2随机过程的基本概念☞说明:随机过程X(t,)是定义在T上的二元函数：▲固定t∈T，则X(t,•)表示系统t时刻所处的状态，是定义在样本空间上的函数—随机变量。▲固定∈，则X(•,)(t在T中顺序变化)是参数t∈T的一般函数,称之为样本函数(samplefunction)（路径(path)、现实(realization)、轨道(trajectory)）.样本函数全体称为样本函数空间。▲随机过程X(t,)是可能取值的全体所构成的集合称为状态空间(statespace)或相空间(phasespace)，记作S随机过程的两种观点•观点一：随机过程是样本空间为函数的概率空间–缺点：概率特性描述上不方便。概率集函数描述了样本函数组成的事件的概率，不直观•观点二：随机过程是随时间参变量变化的一族随机变量–直观，便于用概率函数描述2随机过程的基本概念•例题：38-40•例1:电话交换站收到的呼叫次数•例2:电子元件或器件的热噪声电压•例32.2随机过程的分类☞随机过程Z(t,)的分类(一)根据参数T的性质和状态空间S取值(状态)的特征随机过程通常分为四类⑴离散参数离散型随机过程T可列∪S可列⑵连续参数离散型随机过程T不可列∪S可列⑶离散参数连续型随机过程T可列∪S不可列⑷连续参数连续型随机过程T不可列∪不S可列2.2随机过程的分类特别◇T可列时,称X(t,)为离散参数随机过程(stochasticprocesswithdiscreteparameter),或随机序列(randomsequence)或时间序列(timeseries)◇※T连续(T=R1orT=[a,b]∈R1)时,称X(t,)为连续参数(continuousparameter)过程,或可列(有限)过程(denumerable(finite)process),或离散状态过程(discretestateprocess)◇S连续时,称X(t,)为连续状态过程(continuousstateprocess).2.2随机过程的分类☞随机过程X(t,)的分类(二)根据随机过程X(t,)的概率分布特性主要分为：⑴正态随机过程⑵Gauss随机过程⑶Poissin随机过程X(t,)的概率密度函数族是正态分布函数族X(t,)的概率密度函数族是Gauss分布函数族X(t,)的概率密度函数族是Poissin分布函数族2.2随机过程的分类☞随机过程X(t,)的分类(三)根据随机过程X(t,)的记忆特性主要分为：⑴纯粹独立随机过程;⑵独立增量过程;⑶Markov随机过程;记忆性：随机过程t:X(t,);t+:X(t+,).Xt与Xt+的值是否具有相关性？2.2随机过程的分类☞随机过程X(t,)的分类(四)根据随机过程X(t,)的性质(Xt间的概率关系)主要分为：⑴二阶矩过程⑵马尔科夫过程⑶独立增量过程⑷鞅(5)更新过程2.2随机过程的分类☞亦可以根据随机过程X(t,)的遍历性、功率普密度等进行分类。这些分类标准都是人们观察随机过程的角度，当观察的角度变化时，标准也随之变化。2.3随机过程的有限维分布函数族☞定义1：设X(t,)为一随机过程，t=const∈T，X(t,)为一随机变量，其分布函数称为随机过程X(t,)的一维分布函数。1R),)((),(xxtXPxtFX2.3随机过程的有限维分布函数族☞定义2：设X(t,)为一随机过程，一般地，t1=const1,t2=const2,…,tn=constn∈T，随机变量X(t1,),X(t2,),…,X(tn,)的n维联合分布函数称为随机过程X(t)={X(t,),t∈T}的n维分布函数。nnnnnnXXXxxxxtXxtXxtXPxxxtttFnR),,(),)(,,)(,)((),,,;,(2122112121212.3随机过程的有限维分布函数族☞定义3：设X(t)=X(t,)={X(t,),t∈T}为一随机过程，其有限维分布函数的全体称为随机过程{X(t,),t∈T}的有限维分布函数族。},,2,1,,R),,(),,,,;,({212121niTtxxxxxxtttFFinnnn2.3随机过程的有限维分布函数族☞随机过程X(t)有限维分布函数族的性质ⅰ对称性对(1,2,…,n)的任一排列(j1,j2,…,jn)有ⅱ相容性对mn),,,;,(),,,;,(21212121nnjjjjjjxxxtttFxxxtttFnn),,,;,(),,,,,;,,,,(212121121mmmnmmxxxtttFxxxtttttFnmmkxk,,2,1,2.3随机过程的有限维分布函数族☞随机过程概率特征的分析研究方法(1)理论:(2)实际问题中:随机试验的结果随机过程的数学模型有限维分布函数族{F(ti;xi)}{X(t,),t∈T}概率规律性{F(ti;xi),i=1,2,,n}概率规律性近似建立一一对应的关系？2.3随机过程的有限维分布函数族☞定义：设X(t)=X(t,)={X(t,),t∈T}为一随机过程，其有限维分布函数为则其对应的特征函数为),,,;,(2121nnXxxxtttF)d,,d,d;,(),,,;,(d)]}()()([exp{),,,;,(2121)(2121)(2211212122112211nnxxxinnxxxinnnnxxxtttFexxxtttFetXtXtXiEtttΦnnnn2.3随机过程的有限维分布函数族•例题：43-44•例1，例2，2.4随机过程的数字特征☞X(t)的有限维特征函数族为一般},,1),,,,;,({212121TtttntttFnnn随机过程分布函数特征函数2.4随机过程的数字特征1、均值函数☞定义：设X(t)={X(t,),t∈T}为一个随机过程，若t∈T,E[X(t)]存在，则称mX(t)=E[X(t)]为随机过程X(t)的均值函数(meanfunction)X(t,ω１)X(t,ω2)X(t,ωi)X(t)tmX(t)=E[X(t)]X(t,ωk)t1mX(t1)随机过程X(t)在各个时刻的摆动中心2.4随机过程的数字特征2、方差函数☞定义：设X(t)={X(t,),t∈T}为一个随机过程，若t∈T,E[X(t)]存在，则称DX(t)=E[(X(t)-mX(t))2]为随机过程X(t)的方差函数(variancefunction).随机过程X(t)的方差函数DX(t)亦记为，其平方根称为随机过程X(t)的均方根差(meanaquarerootvariance)或标准差(standarddeviation)，记作他表示随机过程X(t)在时刻t∈T相对于均值mX(t)的偏离程度。)(2tX)()()(2tDttXXX2.4随机过程的数字特征设X(t)={X(t,),t∈T}，和Y(t)={Y(t,),t∈T}为两个随机过程，若t∈T：mX(t)=mY(t)，DX(t)=DY(t)(a)j=const:X(t,j)X(t1,j)与X(t2,j)线性联系较弱；(b)i=const:Y(t,i)Y(t1,i)-mY(t1)Y(t2,i)-mY(t2)Y(t1,i)与Y(t2,i)线性联系密切；☞“协方差函数”mY(t)mX(t)ttY(t)X(t)t1t1t2t2Y(t1,ωi)-mY(t1)Y(t2,ωi)-mY(t2)(a)(b)2.4随机过程的数字特征3、协方差函数☞定义：设X(t)={X(t,),t∈T}为一个随机过程，若t,s∈T,称CX(s,t)=cov[X(s),X(t)]=E{[X(s)-mX(s)]·[X(t)-mX(t)]}为随机过程X(t)的(自)协方差函数(covariancefunction).自协方差函数是s,t(∈T)的函数，他描绘了两个不同参数s,t时刻随机过程X(t)状态之间的联系；特别s=t时，即CX(t,t)=DX(t)2.4随机过程的数字特征4、相关函数☞定义：设X(t)={X(t,),t∈T}为一个随机过程，若t,s∈T，称RX(s,t)=E[X(s)·X(t)]为随机过程X(t)的(自)相关函数(auto-correlationfunction).自相关函数是s,t(∈T)的函数，他描绘了两个不同参数s,t时刻随机过程X(t)状态之间的联系；特别۞s=t:DX(t)=CX(t,t)=RX(t,t)-[mX(t)]2۞mX(t)=E[X(t)]≡0:CX(s,t)=RX(s,t)5、均方值函数☞定义：设X(t)={X(t,),t∈T}为一个随机过程，若s∈T，X(t)是一随机过程，称X(t)=E[X(t)]2为均方值函数。2.4随机过程的数字特征2.4随机过程的数字特征6、相关系数☞定义：设X(t)={X(t,),t∈T}为一个随机过程，若t,s∈T，称为随机过程X(t)的(自)相关系数.他描绘了随机变量X(s),X(t)(t,s=const∈T)之间线性联系的密切程度。)()())(),(cov(),(tDsDtXsXtsXXX2.4随机过程的数字特征7、连续分布随机过程的数字特征设X(t)={X(t,),tT}为一个随机过程，若t1=constT,X(t1)为一随机变量，其分布函数,概率密度则☞均值函数：☞方差函数：xtxxfxxxfxFxtXEtmXXXXttd),(d)()(d)]([)(11111)(1xFtX)(1xftXxtxftmxxFtmxtmtXEtXtDXXXXXXXtd),()]([)(d)]([})]()({[)]([)(121212111211随机变量X(t1)的二阶中心矩2.4随机过程的数字特征☞相关函数21212121212121212121dd),;,(),;,(d)]()([),(),(2121xxttxxfxxttxxFxxtXtXEttRttRttttXXXXXXX随机变量X(t1),X(t2)的二阶混合原点矩2.4随机过程的数字特征☞协方差函数))(),(cov()()(),(dd),;,()]()][([),;,(d)]()][([)]}()()][()({[),(),(212121212121221121212211221121212121tXtXtmtmttRxxttxxftmxtmxttxxFtmxtmxtmtXtmtXEttCttCXXXXXXXXXXXXXXXXXtttt随机变量X(t1),X(t2)的二阶混合中心矩2.4随机过