1.1.6 棱柱 棱锥 棱台和球的表面积和体积

1.1.6柱、锥、台和球的表面积和体积2Sr圆周长公式：2Cr扇形面积公式：12Srl梯形面积公式：1()2Sabh常用公式：圆面积公式：一、复习回顾正方形面积公式：正三角形的面积：a问题:你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？S正方体表=6a2a一、复习回顾正方体和长方体的表面积就是各面面积之和二、引入新课我们可以把棱柱、棱锥、棱台展成平面图形，从而求其表面积吗？自主探究:直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？直棱柱的侧面展开图为_________正棱锥的侧面展开图为________________________正棱台的侧面展开图为_______________矩形有公共顶点且全等的等腰三角形全等的等腰梯形S直棱柱侧=ch.•直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积。hhc1、直棱柱的表面积三、讲解新课S直棱柱表=S直棱柱侧+2S底例1：已知正六棱柱的高为h，底面边长为a，则侧面积为()表面积为（）6ah解题关键：棱柱的高、底面周长6ah2a233•正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半。S正棱锥侧='nah21'ch21aah’底面为正多边形，顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上。侧面为全等的等腰三角形。2、正棱锥的表面积S正棱锥表=S正棱锥侧+S底解题关键：斜高、底面边长解题方法：四个关键直角三角形ahh'SAOMBDC例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．DBCAS分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．因为BC=a，aSDSBSD2322所以：243232121aaaSDBCSABC因此，四面体S-ABC的表面积交BC于点D．解：先求的面积，过点S作ABCBCSD典型例题223434aaSS正棱台侧=')han(a21''')hc(c213.正棱台的表面积正棱台的侧面积等于两底面周长的和与斜高乘积的一半。由正棱锥截得的棱台，侧面为全等的等腰梯形h’aa’展开图S正棱台表=S正棱台侧+S上底+S下底解题关键：斜高、上底面边长、下底面边长解题方法：3个直角梯形O’aa'hh'BAOMDCA’B’C’D’M’例：课本P283直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：1'2Sch锥侧1''2Scch台侧'Sch柱侧思考:c’=c上底扩大c’=0上底缩小4、圆柱的表面积侧面展开图是矩形，矩形的一边为母线，另一边为圆柱底面圆的圆周长。其中底面半径为r，母线长为l。O`OS圆柱侧=2πrl=clS圆柱表=2πrl+2πr22πrlAOSc=2rlrS圆锥侧=·2πr·l=πrl，S圆锥表=πrl+πr2215、圆锥的表面积侧面展开图为扇形6.圆台的表面积参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么．)(22rllrrrS圆台表面积r2lOrO’'r'2r圆台的侧面展开图是扇环你能尝试着证明一下吗？三者之间关系lOrO’'rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS锥)(22rllrrrS台圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？r′＝r上底扩大r′＝0上底缩小例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取3.14，结果精确到1）？2cmcm15cm20cm15解：由圆台的表面积公式得花盆的表面积：2225.11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面积约是999．2cm典型例题S球=4πR2.球面面积等于它的大圆面积的4倍。7、球解题关键：大圆半径R例：课本P284柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和rr0r知识小结展开图)(22rllrrrS圆台圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥柱、锥、台、球的体积一.祖暅原理祖暅原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带，原理中含有三个条件，条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间；条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个平面；条件三是两个截面的面积总相等，这三个条件缺一不可，否则结论不成立.以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：ShV（S为底面面积，h为高）．柱体体积一般棱柱体积也是：ShV其中S为底面面积，h为棱柱的高．棱柱和圆柱的体积柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积.即V柱体=S·h.hh底面半径是R，高为的圆柱体的体积的计算公式是S圆柱=πR2h.B'C'A'CBAA'BCA'ABCA'B'C'C'B'锥体体积ShV31（其中S为底面面积，h为高）由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的．31经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的．即棱锥的体积：31锥体体积台体体积由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台(棱台)的体积公式(过程略)．根据台体的特征，如何求台体的体积？ABABCDCDPSShDCBAPABCDPVVVhSSSS)(31棱台（圆台）的体积公式hSSSSV)(31其中，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．SS台体体积S'Sxhsshxx'''ssshxxSxhSV'31)31（台xSSxSh'313131''')(3131ssshSSSh'')(3131shssSh)(31''ssssh柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，h为柱体高ShVSSS分别为上、下底面面积，h为台体高ShV310SS为底面面积，h为锥体高台体体积上底扩大上底缩小柱体、锥体、台体的体积ShV31锥体hSSSSV)(31台体柱体ShV'SS0'S知识小结实验:给出如下几何模型RR5.球的体积步骤１．拿出圆锥和圆柱２．将圆锥倒立放入圆柱结论:截面面积相等R则两个几何体的体积相等３．取出半球和新的几何体做它们的截面RRRRRRR2231334RV球＝球V21５．球的体积计算公式：R球面球RSRSRSRSVR3131313134321324RS球面S1探究球的表面积：名称体积(V)棱柱Sh柱体圆柱πr2h棱锥13Sh锥体圆锥13πr2h棱台13h(S＋SS′＋S′)台体圆台13πh(r2＋rr′＋r′2)球43πR3例2．有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽共重5.8kg，已知螺帽底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14，可用计算器）？解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，10)210(14.3106124322V)(29563mm)(956.23cm因此约有5.8×103÷(7.8×2.956)≈252(个)答：螺帽的个数约为252个.例1.如图所示，在长方体ABCD－A’B’C’D’中，用截面截下一个棱锥C－A’DD’，求棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分的体积之比。D'DABCA'B'C'则它的体积为V=Sh.因为棱锥C－A’DD’的底面面积是S，高是h，12所以棱锥C－A’DD’的体积是VC－A’DD’=111326ShSh所以棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分的体积之比是1：5.D'DABCA'B'C'解：已知长方体可以看作是直四棱柱ADD’A’－BCC’B’。设底面ADD’A’的面积是S，高为h，例2、一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R,斜高为0.6R。求这个容器盖子的表面积（用R表示，焊接处对面积影响忽略不计）；S正四棱台=4××(2.5R+3R)×0.6R+(2.5R)2+(3R)2=21.85R2.21S球=4πR2.因此，盖子的全面积为S全=(21.85+4π)R2.解：因为