第3章 声波的基本性质

1第3章声波的基本性质3.1声压的基本概念3.2线性化声波方程3.3平面声波的基本性质3.4能量关系和声的度量3.5声波的干涉23.1声压的基本概念媒质质点的机械振动由近及远的传播称为声振动的传播或称为声波3声的分类4不同声音的频率范围56设体积元受到扰动后，压强从P0改变为P,则压强的变化量称为声压（soundpressure）声压0pPP——声压是时间和空间的函数(,,,)ppxyzt声场：存在声压的空间或声波所到达的空间瞬时声压：声场中某一瞬时的声压值峰值声压：一定时间间隔内最大的瞬时声压值有效声压：一定时间间隔内，瞬时声压对时间取均方根值201TeppdtT78声压的单位：Pa（帕）21Pa=1N/m——人耳对1kHz声音的可听阈约为——微风吹动树叶的声音——飞机发动机的声音5210Pa4210Pa200Pa声源振动：弦；笛；鼓……气动：流体噪声……压电效应、磁致伸缩效应……9103.2线性化声波方程三个基本物理定律：牛顿第二定律、质量守恒定律、物态方程运动方程取一体积元，在x方向的位置从x到x+dx，横截面积为S=dydz.10()FPpSdxdzdyxF1F2体积元左侧受力：理想流体的基本方程11体积元右侧受力：20()FPpdpS体积元受到的合力为:12FFFdpS体积元在x方向的运动方程：xdvSdxdpSdtxdvpdtx同理：ydvpdtyzdvpdtz矢量形式dpdtvdxdzdyxF1F212连续性方程质量守恒定律，即媒质中单位时间内流入体积元的质量与流出该体积元的质量之差应等于该体积元内质量的增加或减少xdxdzdy(vx)|x(vx)|x+dx单位时间内通过左侧流入的质量:()xxvdydz单位时间内通过右侧流出的质量:()xxdxvdydz13同样，y和z方向流入的质量和流出的质量为();()yzzyvdxdzvdxdy();()yzzdzydyvdxdzvdxdy体积元内质量的变化等于通过6个面积流入的质量和流出的质量之差()()()()()()xyzxzyxyzxdxzdzydydxdydzvdydzvdxdzvdxdztvdydzvdxdzvdxdy14()()()()()()yyxxydyyxdxxzzzdzzvvzvvtdxdyvvdz()()()0yxzvvvtxyz()0tv——矢量形式15物态方程低频声波动：准平衡态；即使低频声波，在媒质压缩和膨胀的一个周期内，相邻媒质来不及完成热交换。因此，声波动过程是一个绝热过程(,)PPs00(,)pPPPsP——流体的本构方程平衡态热力学中：实验决定；平衡态统计力学中：原则上，只要知道粒子—粒子相互作用，可以理论得到状态方程；16小振幅声波方程运动方程dpdtv连续性方程物态方程()0tv00(,)pPPPsP——非线性方程：5个方程，5个未知数17全导数和偏导数流体运动的2种描述方法Lagrange描述(a,b,c)r0(a,b,c,0)r(a,b,c,t)Otttcbattcbatcbatrrrv),,,(),,,(lim),,,(018Euler描述x1x2x3Of(x1,x2,x3,t)注意：由于流体的流动，在同一空间点r，不同时刻t和t+t的速度v(r,t)和v(r,t+t)不是同一个质点的速度.速度场：在空间建立速度场v(r,t).当时刻t,流到r的流体质点具有速度v(r,t).1900d(,)(,)limd()(,)lim()tttttttttttvvrrvravrvrvvv(,)tvr(,)ttvrrd()dttv全导数偏导数对流项20线性声学：小振幅声波非线性声学：有限振幅声波一维方程线性化000;;pPPvvv000(,,)Pv——没有声波时，流体的密度、压强和质点速度（v0=0）运动方程0()vvpvtxx0,vvvvtxt——二阶小量210vptx连续性方程00()[()]0vtx假定均匀流体，平衡时密度不随时间变化00vtx物态方程22002,0,020,01(,)......2sssPPpPsPPc2220pc200sPc——流体压缩，体积变小；流体膨胀，体积变大一维波动方程0vptx00vtx20pc02010pvctx2202201pvcttx2202vpxtx2322222222220011;ppctxctx——一维声波方程0vptx20pc20vctx222002vcttx00vtx2202vxtx2222201vvctx24三维声波方程运动方程dpdtv0()ptv连续性方程()0tv0()0tv物态方程20pc25微分运算关系;yxzAAAxyxxyxijkA标量矢量矢量标量=;=;=xyzpppppppAAAxyzxyzijk2222222()pppppxyz260()ptv20()()pptv0()0tv202()0ttv2220pt20pc2222010ppct222020ct——三维声波方程273.3平面声波的基本性质一维平面声波声波沿一个方向（如x方向）传播，在其余方向上所有质点的振幅和相位均相同。一维声波方程2222201ppctx在稳定的简谐声源作用下产生的稳态声场(,)()exp()pxtpxit222()()0dpxkpxdx0/kc——波矢28管道中才能形成平面波29通解()exp()exp()pxAikxBikx——行波解——自由空间()cos()sin()pxAkxBkx——驻波解——有限空间考虑到时间变量的行波解()exp[()]exp[()]pxAikxtBikxt意义分析()exp[()]()exp[()]pxAikxtpxBikxt30等相位面kxt常数不同时刻,(0,1,2......)ikxti常数x——垂直于x轴的平面平面移动的速度0dxcdtkpxpx方向运动的平面波方向运动的平面波31等相位面移动的速度——相速度——声速0~344m/ssPc空气中声速空气理想气体绝热过程：PV常数P常数000,0sPPc53000C:1.402;1.01310Pa;1.293kg/mP温度000331.6m/sPc32与温度的关系00(273)BPMPRTRPVNkTPVRTt0(273)(331.6+0.6)m/sRctt20C:344m/stc等温过程：PVP常数常数000297m/sPc错误33声速与媒质质点振动速度的区别0vptx000pvc00exp[()]exp[()]ppitkxvvitkx人大声讲话的声压00.1Pap402.510m/sv——远小于声速！34三维平面声波222222222010ppppctxyz在稳定的简谐声源作用下产生的稳态声场(,,,)(,,)exp()pxyztpxyzit222222200ppppxyzc分离变量解(,,)()()()pxyzXxYyZz35222222200dXdYdZYZXZXYXYZdxdydzc222222201110dXdYdZXdxYdyZdzc2222222220;0;0xyzdXdYdZkXkYkZdxdydz222220xyzkkkkc362220xdXkXdx()exp()exp()xxxxXxAikxBikx2220ydYkYdy()exp()exp()yyyyYyAikyBiky2220zdZkZdz()exp()exp()zzzzZzAikzBikz如果取(,,)()()()exp[()]xyzpxyzXxYyZzAikxkykz(,,)exp()pxyzAikrxyzkxkykzkr37如果取(,,)()()()exp[()]xyzpxyzXxYyZzBikxkykz(,,)exp()pxyzBikrxyzkxkykzkr如果取(,,)()()()exp[()]xyzpxyzXxYyZzBikxkykz(,,)exp()pxyzBikrxyzkxkykzkr——意义不大了——相当于第2种情况中，kz取负号！382种典型情况(,,)exp()pxyzAikr包括时间部分(,,,)exp[()]exp[()]pxyztAitBitkrkr意义分析：(,,,)exp[()](,,,)exp[()]pxyztAitpxyztBitkrkr等相位面平面移动的速度tkr常数39不同时刻,(1,2,3,......)itikr常数-——三维空间的平面，平面方向k=(kx,ky,kz)—平面波平面移动的速度0ckntkr常数对方程两边求导ddtrk0dcdtrn等相位面移动的速度——相速度——声速40(,,,)exp[()]pxyztAitkr(,,,)exp[()]pxyztBitkr——方向传播的平面波k——方向传播的平面波k41声速与媒质质点振动速度的区别0000pcvn00exp[()]exp[()]ppititkrvvkr0vpt媒质质点振动速度与声波传播方向一致——纵波！声阻抗率媒质中空间一点的声阻抗率定义spZv——能量传播方向的速度分量！平面波00spZcv——等于媒质的特性阻抗(0c0)。注意：负号！423.4声场中的能量关系和度量声能量与声能量密度在一足够小的体积元V0内，其体积、压强和密度分别为:V0,P0,0动能2001()2kEVv势能0ppEpdV——负号：p增加，V减小；p减小，V增加.压缩过程，系统储存能量；膨胀过程，系统释放能量。43利用2000cdpdVV200220000002pppVVEpdVpdppcc体积元内总能量22000200122tkpVEEEVvpc能量密度22022000112tEvpVc4400exp[()]exp[()]ppititkrvvkr平面波00cos()cos(