8-4 多元复合函数微分法

1/20微积分八④1、设则____________)3sin1()cos(2223badyyxxbydxxyaxydz4.arcsin,.zxydz若求235.,.xyzuxyzedu若求2、3、1、思路：令即226coscos23xyxbyxyaxyzzyxxy22263baba222/20微积分八④4.arcsin,.zxydz若求235.,.xyzuxyzedu若求dyxyxxydxxyyxydz211211xyxyxdyydx)1(2dzxyezxyezxydyxzezxyexyzdxyzezxyezyduxyzxyzxyzxyzxyzxyz)3()2()(32223233232dzxyzezxydyxyzexyzdxxyzezyxyzxyzxyz)3()2()1(223322、3、2、3、微积分电子教案一、多元复合函数链式法则二、链式法则的特例三、抽象复合函数求导举例四、全微分形式的不变性4/20微积分八④一、复合函数链式法则如果),(yxuu及),(yxvv都在点),(yx具有对x和y的偏导数，且函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([yxvyxufz在对应点),(yx的两个偏导数存在，且可用下列公式计算xvvzxuuzxz,yvvzyuuzyz.5/20微积分八④uvxzy链式法则如图所示xzuzxuvz,xvyzuzyuvz.yv1)从z到有几条路，导数公式中就有几项；2)每条路有几个中间变量，就有几个乘号.只要有函数的复合关系，就能写出导数公式xxy6/20微积分八④例1设vezusin，而xyu，yxv，求xz和yz.解xzuzxuvzxv1cossinveyveuu),cossin(vvyeuyzuzyuvzyv1cossinvexveuu).cossin(vvxeuuvxzyxy例1．设)sin(yxezxy，求xz和yz.7/20微积分八④例2：已知求yzxzyxzyx,)3(5422直接求可以，但较麻烦，（是幂指函数）解：设vuzyxvyxu54322uvxzyxyxzuzxuvzxv4ln61uuxvuvv)]3ln(46354[)3(22225422yxxyxyxyxyx同样可求yz8/20微积分八④链式法则可以推广为，设),,(wvufz其中),(yxuu、),(yxvv、),(yxww，则公式为xwwzxvvzxuuzxz,ywwzyvvzyuuzyz.zwvuyxxxyy若w=w(x)呢？9/20微积分八④dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz公式中的导数称为全导数.dtdz二、链式法则特例)(),(),(),,,(.1twwtvvtuuwvufz特点:中间变量多个,自变量只有一个.uvwtztt10/20微积分八④例3设uvz，而teu，tvcos，求全导数dtdz.解dtdvvzdtduuzdtdz)sin(tuevttetettsincos),(),(.2yxuuufzxyzuxududzxzyzyududz特点:中间变量一个,自变量多个.uvtzt11/20微积分八④),,(),,,(.3yxuuuyxfzyzuxxyxzxfxuufyzyfyuuf特点：中间变量与自变量混合出现。,xfxuufxz把复合函数)],(,,[yxuyxfz中的y看作不变而对x的偏导数把),,(uyxfz中的u及y看作不变而对x的偏导数两者的区别注意：xzxuuz对所有的x对中间变量x12/20微积分八④yzuxxy例4：求)sin(,2xyuyxuzyyzxz,解：zfufxuxx,2)cos(1xyxyuyyyzyfyuufyuuxxyuyyy21ln)cos(1,2)cos(12xxyuyyyuuxyuxyyy21ln)cos(113/20微积分八④解令,zyxu;xyzvxwxvvfxuuf;21fzyf21fyxfzvvfzuufzw1.抽象复合函数的一阶导数例5设),(xyzzyxfw，f可微，求xw和zw.变量1变量2),(vufw,),(1uvuffwzvuyxxyz14/20微积分八④又例如：1、),,(22xyeyxfz求yzxz,.2、),(yxxfz,,求,,yzxz.(其具中f有一阶连续偏导数)xxyxefyxfxz)()(.12221212fyefxxyyxyyefyxfyz)()(2221212fxefyxy21211)1(.2fyfyffxz22)(fyxyz15/20微积分八④2.抽象复合函数的高阶导数例6设),(xyzzyxfw，f具有连续的二阶偏导求.zxw2意味着2112ff解（欲求二阶导，必须先求一阶导）已求出;21fzyfxwzzzfzyfyzfzfzyfzxw)()()()(221212怎么求？一个多元函数求偏导后还是原自变量的多元函数一般函数具有的结构,其偏导也具有相同的结构16/20微积分八④xxzxyzfzyxff)()()()()(21111xyff1211同理:xyfffz22212)(1fzvuyxxyzfzvuyxxyz或);,(),,(11xyzzyxffxyzzyxfw17/20微积分八④2111222122()()wffxyyfyzffxyxz同理:xyfffz22212)(xxzxyzfzyxff)()()()()(21111xyff121121112222()fxzyfxyzfyf18/20微积分八④解：)(221xyfyfxz例7.),,(dzxyxyfz求已知221fxyfyxfxfyz121211fxfxdyfxfxdxfxyfydz)1()(2122119/20微积分八④设),(vufz，则dvvzduuzdz;全微分形式不变形的实质：对函数z=f(u,v)来说，无论u、v是自变量还是中间变量，它的全微分形式是一样的.dvyzduuzdz当),(yxu、),(yxv时，有dvvzduuzdz吗？20/20微积分八④例8已知02zxyeze，求xz和yz.解,0)2(zxyezed,02)(dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyzdyexedxeyedzzxyzxy)2()2(xz,2zxyeyeyz.2zxyexe提供了一个求全微分以及偏导数的方法作业：P3231（3），2（1，3，5），6（1）