自考高等数学全部公式

1．重要极限1sinlim0xxx.2．重要极限exxx)11(lim1sinlim0特点:①特点:e)11(lim定义3设0limlim，（1）若0lim，则称是的高阶无穷小量，记为)(o；而称是的低阶无穷小量.（2）若0limk，则称与是同阶无穷小量，记为)(O；（3）若1lim，则称与是等价无穷小量，记为～；（4）若)0,0(limkLLxk，则称0x时，的是xk阶无穷小量.重要结论：)1ln(x～,x)1(logxa～,ln1xa1xe～,x1xa～,lnax1)1(x～.x,0时当x)(lim)()(lim)()(lim00000xfxfxfxfxfxxxxxx连续的概念∴xsin～xtan～xarcsin～xarctan～x(0x)；xcos1～221x（0x）；11nx～nx（0x）.（极值存在的必要条件）称为可能极值点导数不存在的点驻点.定理设)(xfy在],[ba上连续，在),(ba内二阶可导，则（1）若),(ba在内，0)(xf，则曲线弧),()(baxfy在内是向下凸的；（2）若),(ba在内，0)(xf，则曲线弧),()(baxfy在内是向上凸的.基本初等函数和常数的求导公式（1）0)(c；（2）1)(xx；（3）aaaxxln)(；（4）xxee)(；（5）axxaln1)(log；（6）xx1)(ln；（7）xxcos)(sin；（8）xxsin)(cos；0000000()()()()()limlimlimxxxxfxxfxfxfxyfxxxxx;0)(d)1(C;d0)1(Cx;d)1(d)2(1xxx);1(1d)2(1Cxxx;d1)(lnd)3(xxx;lnd1)3(Cxxx;d11)(arctand)4(2xxx;arctand11)4(2Cxxx;d11)(arcsind)5(2xxx;arcsind11)5(2Cxxx;d)ln(d)6(xaaaxx;lnd)6(Caaxaxx1.积分公式;d)(d)7(xeexx;d)7(Cexexx;dcos)(sind)8(xxx;sindcos)8(Cxxx;cotdcsc)11(2Cxxx;tandsec)10(2Cxxx;cosdsin)9(Cxxx;dsec)(tand)10(2xxx;dcsc)cot(d)11(2xxx;dtansec)(secd)12(xxxx.cscdcotcsc)13(Cxxxx;dsin)cos(d)9(xxx;secdtansec)12(Cxxxx.dcotcsc)csc(d)13(xxxx2．常用凑微分式子（1）)(d1dbaxax；（2）)(d21d2xxx；（3）)(lndd1xxx；（4）)1(dd12xxx；（5）)(d2d1xxx；（6）)(arctandd112xxx；.coslndtanCxxx.sinlndcotCxxx即uvuvvudd.不定积分的分部积分法分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，分部积分法是乘积微分公式的逆运算.一、分部积分公式如dxaxxn，xdxxnsin，xdxxnarctan，dxxexcos等.反对幂指三例10.求dxex11解：令tex1，12tex，)1ln(2tx，dtttdx122，则dttdttttdxex1121211122.1111ln11ln22CeeCttxx（一）简单根式代换三角函数代换.当被积函数含有（1）22xa时，令taxsin；（2）22ax时，令taxtan；（3）22ax时，令taxsec.变限求导公式（1）)(]d)([xfttfxa；（2）)(]d)([xfttfbx；（3）)()]([]d)([xxfttf(x)a；（4）)()]([]d)([)(xgxgfttfbxg；（5）)()]([)()]([])d([)()(xgxgfxxfttfxxg.奇偶函数在对称区间上的积分性质（1）xxfxfxxfaaad)]()([d)(0；（2）当)(xf为偶函数，则xxfxxfaoaad)(2d)(；（3）当)(xf为奇函数，则0d)(xxfaa.20dsinxxInn（Nn）∴.,13254231,,22143231是奇数是偶数nnnnnnnnnnInxdxxbxyo)(xfya.dd)]([22xyxxfVbabax,d)]([d)(d2xxfxxAV0y和曲线)(xfy所围成的曲边梯形绕x轴旋转1．设)(xf在],[ba上连续，求由直线ax、bx、一周而得的旋转体的体积.二、旋转体的体积2.设)(y在],[dc上连续，求由直线cy、dy、0x和曲线)(yx所围成的曲边梯形绕轴y旋转一周而得的旋转体的体积..dd)]([22yxyyVdcdcyxoycdy)(yxdyy,d)]([d2yyVxdxx类似地，由dyc0，)(0yx所围成的图形绕轴x旋转所成的旋转体的体积为：dcxyyyVd)(2.x2)(xfdx.d)(2bayxxfxV,d)(2dxxfxVxoyab)(xfy可分离变量方程的一般形式为)()(ygxfdxdy（1）分离变量：)0)(()()(ygdxxfygdy；（2）两边积分：dxxfygdy)()(；（3）求出积分，得通解：CxFyG)()(，其中)(),(xFyG分别是)(,)(1xfyg的原函数。（4）根据初始条件求方程的特解.（5）若有0)(0yg，则0yy也是方程的解，称为常数解.求解步骤：]d)([d)(d)(CxexQeyxxPxxP)()(xQyxPy（二）一阶线性非齐次方程的解法例．求方程0dd)(4xyyyx的通解.其中yyP1)(，3)(yyQ，代入通解公式，得]31[]d[3d13d1CyyCyeyexyyyy，故原方程的通解为Cyyx431.分析：若仍把当作自变量x，把当作y未知函数，由于方程中4y含有，则它不是线性方程，为此，可把yx当作是的函数.解：yyxxyd)(d4，31ddyxyyx，这是一个关于未知函数)(yxx的一阶线性非齐次方程，二阶常系数线性非齐次方程为)(xfbyyay②是方程若y②的一个特解，是方程y①的通解，则yyy是方程②的通解.二阶线性常系数非齐次微分方程设二阶常系数线性齐次方程为0byyay①（1）由微分方程写出对应的特征方程；（2）求解特征方程的根；（3）按特征根的情况写出微分方程的通解：21,rr有两个不相等实根xrxreCeCy212121rrr有两个相等实根)(21xCCeyrxir21,有一对共轭复根)sincos(21xCxCeyx的通解方程0byyay02barr特征方程求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤：二阶线性常系数非齐次方程的特解形式)(xpemx]sin)(cos)([xxPxxPenmx不是特征根)1()(xf自由项yxfbyyay)(的特解方程是单特征根)2(是二重特征根)3(xmexQy)(xmexQxy)(xmexQxy)(2不是特征根)1(iβα是特征根)2(iβα]sin)(cos)([xxRxxQeyllx]sin)(cos)([xxRxxQxeyllx},max{nml其中