概率论与随机过程第1章4-5节

上海大学通信学院1039310792103)()()(___BAPABPBP解:设A：第一次取到次品；B：第二次取到次品。第一次取走一只次品后，盒中还剩下9只产品，其中只有2个次品，故又，且故ABABA___ABSB.92/ABPBAABB))((BAAB)(/BPABP上海大学通信学院从样本空间分析：第一次抽取时的样本空间当A发生后，S缩减为由此可知：P(B/A)是在缩减样本空间上计算的。问题:应该如何来定义和计算条件概率呢?可想的方法:由于事件的频率与概率有一定关系，所以是否可从此着手研究该问题?正品次品,10,43,2,1...,eeeeeS正品次品,10,4,2,1...,eeeeSiiAAS上海大学通信学院上海大学通信学院事件A发生的条件下事件B发生的频率：设事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，并设n次试验中，其中A，AB事件分别出现nA，nAB次，故在“事件A发生的条件下事件B发生的频率”为:)()()|(AfABfnnnnnnABfnnAABAABnABABA___ABSB上海大学通信学院条件概率定义:设A，B为随机试验E的二个事件，且P(A)0，则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。问题：条件概率是否满足概率定义的非负性、规范性、可列可加性三条件?P(B|A)计算的两种方法:1)在样本空间S的缩减样本空间SA中直接计算B发生的概率P(B/A)；2)在样本空间S中,分别计算P(AB)和P(A),再计算)()/(APABPABP上海大学通信学院)()()/(APABPABP上海大学通信学院例1:设在一只盒子中混有新旧2种乒乓球，在新乒乓球中有白色40只，红色30只；在旧乒乓球中有白色20只，红色10只。现任取一球，发现是新的，问这只球是白色的概率是多少?解:按题意,即求P(W/N)=?1)在缩减样本空间N中考虑计算:P(W/N)=40/70=4/7。2)用公式求解:P(W/N)=P(WN)/P(N)=类型W(白)R(红)共计N(新)403070O(旧)共计2060103040100741007010040//上海大学通信学院上海大学通信学院有关条件概率的三定理1.概率的乘法定理:设A、B∈S，P（A）0,则P(AB)＝P(A)P(B|A)。可推广到三个事件的情形：A、B、C∈S，P（AB）0，则有P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1…An－1)0，则有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1)。上海大学通信学院上海大学通信学院例2:袋中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从袋中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解：设Ai为第i次取球时取到白球，则，，，3518473635232142131214321)|()|()|()()(AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP6312)|(AAP73)|(213AAAP843214)|(AAAAP上海大学通信学院例3：一批灯泡共100只，次品率为10％，不放回地抽取三次，每次取一只，求第三次才取得合格品的概率。解：设={第i次取得合格品}，i=1，2，3。显然，P{第三次才取得合格品}=因为故iA989099910010213121)(,)(,)(AAAPAAPAP00830989099910010.)()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP)(321AAAP上海大学通信学院例4(补充)：在空战训练中甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率为0.4。求在这三个回合中：(1)甲机被击落的概率；(2)乙机被击落的概率。解：设事件A={甲机被击落}，事件B={乙机被击落}，事件Ai={第i回合射击成功}，i=1,2,3。则由乘法定理可有:（1）（2）240308012121...)()()()(AAPAPAAPAP424040708020213121132113211.....)()()()()()()()(AAAPAAPAPAPAAAPAPAAAAPBP321121AAAABAAA,上海大学通信学院2.全概率公式样本空间的划分定义:设S为随机试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件，若.,...,,,),(,)(;)(njijiBBiiSBijiini211则称B1，B2，…，Bn(n可为)为样本空间S的一个划分。样本空间的划分可构造的条件:一次试验E，事件B1，B2，…，Bn中必有一个且仅有一个事件发生。1B2B3B1nBnBS上海大学通信学院全概率公式:设试验E的样本空间为S，B1，B2，…,Bn是S的一个划分，且P(Bi)0，(i＝1，…，n)，则对任何事件AS有。证：且由概率和与乘法定理可得：。niiiBAPBPAP1)|()()(＝nBPBAPBPBAPBPBAPABPABPABPAPn2211n21///1B2B3B1nBnBSAnn21ABABABBBBAASA21)(.,))((kiABABki上海大学通信学院例5:市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。解：设：B：买到一件次品;A1:买到一件甲厂的产品;A2:买到一件乙厂的产品;A3:买到一件丙厂的产品。B)BA(P)BA(P)BA(P)B(P321)A(P)A|B(P)A(P)A|B(P)A(P)A|B(P33221102250210304101041020....上海大学通信学院3.贝叶斯公式定理：设试验E的样本空间为S，B1,B2,…,Bn是S的一个划分，且P(Bi)0,i＝1,2,…,n。对于任何事件AS，P(A)0，则有贝叶斯公式：证：由条件概率可得：由全概率公式可得：故有贝叶斯公式：.,,,,)|()()()()(niBAPBPBAPBPABPniiiiii211APB)PBAP(APABPABPiiii)(NkkkB)PBAP(AP1.,,,,)|()()()()(niBAPBPBAPBPABPniiiiii211上海大学通信学院设试验只可能出现H1,H2,…,Hn有穷或可列多个不同的情况，而事件A只能分别伴随这些情况之一发生。试在A事件发生的条件下，求发生了Hk情况的条件概率。贝叶斯公式通常用于下列问题的求解中:上海大学通信学院例6:设甲乙丙三个箱子中：甲箱内有a1个白球b1个黑球；乙箱内有a2个白球b2个黑球；箱内有a3个白球b3个黑球。现任取出一箱，从此箱中任取出一球，结果发现此球为白球。试在事件A″此球为白球″的条件下，求H1″此球属于甲箱″的条件概率P(H1/A)。解:设H1，H2，H3分别表示“此球属于甲乙丙箱”。，且，由全概率公式可得：由贝叶斯公式可得：31321HPHPHP1321HHHPSHii3133322211131313131baabaabaaHAPHPAPnnn/3311132211123332221111111111131313131baabaabaabaabaabaabaabaaAPHAPHPAHP/)(/上海大学通信学院例7:有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；A2——从甲袋放入乙袋的是红球；B——从乙袋中任取一球是红球；127314332212211)()|()()|()(APABPAPABPBP甲乙上海大学通信学院例8(补充)：商店成箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱。问这一箱含有一个次品的概率是多少？解:设A:从一箱中任取4只检查，结果都是好的。B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品。已知:由Bayes公式:，544204191CCBAP)|(19124204182CCBAP)|(084801912105410180541020111.....)|()()|()()|(iiiBAPBPBAPBPABP.)(,.)(,.)(,.)(11010800210BAPBPBPBP上海大学通信学院例9:数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发射端发的是0的概率是多少?解：设A---发射端发射“0”，B---接收端接收到一个“1”的信号。0670450850550050550050.......)()()()()()()(APABPAPABPAPABPBAP0(0.55)0(0.9)1(0.05)不清(0.05)1(0.45)1(0.85)0(0.05)不清(0.1)上海大学通信学院例10(补充)：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1，0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时售货员任取一箱，而顾客开箱后随机地查看四只，若无残次品，则买下这箱玻璃杯，否则退回。试求：(1)顾客买下这箱玻璃杯的概率p；(2)在顾客买下的这箱中，确实没有残次品的概率q。解：设B={顾客买下所查看的一箱玻璃杯}，Ai={箱中恰好有i件残次品}，i=0，1，2，由题设知：101080210.)(,.)(,.)(APAPAP1912541420418242041910CCABPCCABPABP)/(,)/(,)/(上海大学通信学院(1)由全概率公式(2)由贝叶斯公式94.019121.0541.018.0|20iiiABPAPBPP85.094.018.0/000BPABPAPBApq上海大学通信学院例11(补充):某制帽厂生产的帽子合格率为0.8。一盒中装有四顶帽子，一位采购员从每盒中随机地取出两顶帽子进行检验，如两顶帽子都合格，就买下这盒帽子。求：(1)每盒帽子被买下的概率p；(2)在采购员买下的一盒中都是合格品的概率q。解：设B={一盒帽子被买下}，={一盒帽子中有i顶合格}，i=0,1,2,3,4，由题设知：iA1,0,0|.4,3,2,1,0,2.08.044jABPiCAPjiiii.4,3,2,|242kCCABPKk上海大学通信学院(1)由全概率公式(2)由贝叶斯公式64.02,08.0|2.08.0|2424424440440CCCABPCABPApBPPiiiiiiiiiiiii