概率论与随机过程课件 2.3

2.3连续型随机变量及其概率密度1.定义设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使对于任意实数x，有dttfxFx)()(则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数，简称为概率密度。例如：在[0，1]取点的例，设X为取得点的坐标，则随机变量X的分布函数为，111000)(xxxxxF,0101)(其它存在xxf2.3.1连续型随机变量及其概率密度dttfxFx)()(使,则X为连续型随机变量。2.连续型随机变量的分布函数F(x)性质（1）连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数。（2）对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数a的概率均为零，即P{X=a}=0。事实上，设X的分布函数为F(x)，则P{X=a}=F(a)-F(a-0)而F(x)为连续函数，所以有F(a-0)=F(a)，即得：P{X=a}=0.这里P{X=a}=0，而事件{X=a}并非不可能事件。就是说，若A是不可能事件,则有P(A)=0；反之，若P(A)=0，A并不一定是不可能事件。同样的，对必然事件也有类似的结论。（3）在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，不必区分该区间是开区间或闭区间或半开区间。例如有P{aX≤b}=P{a≤Xb}=P{aXb}=P{a≤X≤b}3.概率密度f(x)的性质:（1）f(x)≥0（2）1)(dttf）（这是因为1)()(dttfF反之，满足（1)(2）的一个可积函数f(x)必是某连续型随机变量X的概率密度，因此，常用这两条性质检验f(x)是否为概率密度。几何意义：曲线y=f(x)与x轴之间的面积等于1．f(x)xo(3)X落在区间(x1，x2)的概率21)()()(1221xxdxxfxFxFxXxP几何意义：X落在区间(x1，x2)的概率P{x1X≤x2}等于区间(x1，x2)上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积．(4)若f(x)在点x处连续，则有F′(x)=f(x)。dttfxFx)()(这是因为，当f(x)连续时，F(x)可导，所以在f(x)的连续点处，F′(x)=f(x).(5)概率密度f(x)的物理意义由性质4在f(x)的连续点x处有xxxXxPxxFxxFxfxx00lim)(lim)(这里我们看到概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似，若非均匀直线的线密度为f(x)，则在区间(x1，x2)上的直线的质量为．这就是称f(x)为概率密度的原因，它反映了概率在x点处的＂密集程度＂。21)(xxdxxf4．概率密度f(x)与分布函数F(x)的关系：(1)若连续型随机变量X具有概率密度为f(x)，那么它的分布函数为dttfxFx)()((2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x)，那么它的概率密度为f(x)=F′(x).注意：对于F(x)不可导的点x处，f(x)在该点x处的函数值可任意给出。例1:设随机变量X具有概率密度000)(3xxkexfx(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X0.1}。解:(1)由于,，解得k=3.13)(03kdxkedxxfx于是X的概率密度为0003)(3xxexfx(2)从而00013)()(303xxedtedttfxFxxtx0001)(3xxexFx即7408.03)(1.033.01.031.0edxedxxfXPx）（例2:确定常数A，B使得函数00)(xAeBxAexFxx为连续型随机变量X的分布函数，并求出X的概率密度及概率P{-1X2}。解:由分布函数的性质知BxFx)(lim1所以B=1.又由连续型随机变量的分布函数的连续性知F(x)在x=0处有F(0-0)=F(0),即：A=1-A，所以：A=1/2于是X分布函数为：X的概率密度为xxxexexexFxf21021021)()(1221211)1()2(}21{eeFFXP0211021)(xexexFxx1．设连续随机变量X具有概率密度其他01)(bxaabxf则称X在区间(a，b)上服从均匀分布，记为XU(a，b).若XU(a，b)，则容易计算出X的分布函数为bxbxaabaxaxxF10)(2.3.2三种重要的连续型分布：)(xfabf(x)及F(x)的图形分别如:f(x)abxF(x)1abx例1:设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900欧—1100欧。求R的概率密度及R落在950欧—1050欧的概率。解:按题意，R的概率密度为其他0110090090011001)(rrf5.02001}1050950{1050950drRP故有注释(1)均匀分布的特性：若XU(a，b)，对于任意的区间(c，c+l)∈(a，b)，则abldxablcXcPlcc1就是说在同样长的子区间内概率是相同的，这个概率只依赖于区间的长度而不依赖于区间的位置。(2)我们现在能把一个区间[a，b]上随机地选取一个点P的直观概念加以精确化。简单地说就是所选取的点P的坐标X在[a，b]上是均匀分布的。2.指数分布设连续型随机变量X具有概率密度为000)(xxexfx其中λo为常数，则称X服从参数为λ的指数分布。容易验证:指数分布的分布函数为0001)(xxexFxf(x)及F(x)的图形λf(x)x1F(x)x指数分布的一个重要特性是”无记忆性”.设随机变量X满足：对于任意的so，t0,有tXPsXtsXP|则称随机变量X具有无记忆性。设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则tstseeesXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP)(}{}{}{},{}|{因此P{X≥s+t|X≥s}=P{X≥t}，即指数分布具有”无记忆性”.例设设备在任何长为t时间内发生故障的次数N(t)~π(λt)的Possion分布,求相继两次故障间的时间间隔T的分布函数。解：关键：t0时,{Tt}={N(t)=0}.时间间隔大于t，在[0，t]时间内未发生故障。因为{Tt}={N(t)=0},,!0)(}0)({}{0tettNPtTP所以)(1}{tFetTPt0001)(ttetFt所以服从参数为λ的指数分布。指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.高尔顿钉板试验这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。验证f(x)是一个合理的概率密度函数:①显然，f(x)≧0；②下面验证（1）定义1：设随机变量X的概率密度为xexfx,21)(222)(其中μ，σ（σ0）为常数，则称X服从参数为μ,σ2的正态分布,记为XN(μ,σ2)。1)(dxxf3．正态分布对于积分，作代换，则dxex222)(21xtdtedtedxettx222)(22222121211)(,222dxxfdxet所以因为定义2：当μ=0，σ=1时称X服从标准正态分布，记为XN(0，1)，其概率密度为2221)(xex标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.(2)正态密度函数f(x)的几何特征因为22222)(5222)(32)(,2)(xxexxfexxf得：驻点：x=μ,为函数的极大值点；拐点：x=μ±σ.作图如下所以①曲线关于x=μ对称，这表明对于任意ho，有P{μ-hX≤μ}=P{μX≤μ+h}；②当x=μ时取到最大值21)(fX离μ越远，f(x)的值越小，表明对于同样长度的区间，当区间离μ越远，X落这个区间上的概率越小。0)(limxfx③在x=μ±σ处曲线有拐点，又由于，所以曲线以x轴为水平渐近线。④如果固定σ，改变μ的值，则图形沿着Ox轴平移，而不改变其形状，可见正态分布的概率密度曲线y=f(x)的位置完全由参数μ所确定，μ称为位置参数。如果固定μ，改变σ，由于最大值，可知当σ越小时图形变得越尖，因而X落在μ附近的概率越大。21)(f正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.德莫佛德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.如我们遇到过的年降雨量和身高,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.(3)正态分布的概率计算①标准正态分布的概率计算若XN(0，1)，则概率密度，如图。2221)(xexX的分布函数为：dtexxt2221)()(x)(x一般的，通过查表求得。)()(}{abbXaP常用性质:A.对于任意实数x，有Φ(x)+Φ(-x)=1.21222121)0(.022dteBt②一般正态分布的概率计算若XN(μ，σ2)，则X的分布函数为：xtdtexF222)(21)(xx对此积分作代换s=(t-μ)/σ，则)(2121)(22)(222xdsedtexFxsxt因此计算F(x)时化为求,可查表求得.x一般的，abaFbFbXaP)()(}{例1:设XN(1.5，22)，求P{-1≤x≤2}。解:25.1125.12)1()2(}21{FFXP1)25.1()5.2()25.1()5.2(18944.05987.04931.0231}{1}{ccxPcxP23}{ccxP即因此,232231cc32311233123cc从而，查表得：(3-c)/2=0.43,即c=2.14例2:设X具有分布N(3，4)，求数c，使得P{xc}=2P{x≤c}。解:例3假设测量的随机误差X~N(0,102),试求在100次独立重复测量中至少有三次测量的绝对值大于19.6(A)的概率α,并利用Possion分布求α的近似值。解：设p为每次测量误差绝对值大于19.6的概率,p=P{|X|19.6}=P{|X|/1019.6/10}=P{|X|/101.96}=1-P{|X|/10≤1.96}=1-Φ(1.96)+Φ(-1.96)=1-Φ(1.96)+1-Φ(1.96)=2-2Φ(1.96)=0.058753.0!5!}3{Y353kkkkkekeP505.0100np设Y表示100次独立测量中事件A出现的次数,则：Y~b(100,0.05)性质已知X~N(μ,σ2).N(0,1)~X例4已知X~N(μ,σ2).求：6826.0184.021)1(2))1(1()1()1(