概率论与随机过程课件 3.3

)()()|(BPABPBAP3.3条件分布在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率)()()|(BPABPBAP推广到随机变量设有两个r.vX,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.这个分布就是条件分布.)()()|(BPABPBAP3.3.1二维离散型随机变量的条件分布律设(X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,….(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为P{X=xi}=pi·i=1,2,….P{Y=yj}=p·jj=1,2,….设pi·0,p·j0，考虑在事件{Y=yj}已发生的条件下事件{X=xi}发生的概率,即{X=xi|Y=yj},i=1,2,….的概率,由条件概率公式,.,2,1,}{},{}|{ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji)()()|(BPABPBAP显然，上述条件概率具有分布律的特性(1).P{X=xi|Y=yj}≥0；1}|{).2(11jjijijijippppyYxXP1．定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j，若P{Y=yj}0，则称.2,1,}{},{}|{ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。)()()|(BPABPBAP同理，对于固定的i，若P{X=xi}0，则称.,2,1,}{},{}|{jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。2.条件分布函数xxjijjYXiyYxXPyYxXPyxF}|{}|{)|(|jxxijxxjijppppii)()()|(BPABPBAP同理：iyyijiXYppxyFj)|(|例1二维离散型随机变量(X,Y)的分布律如表XYX1=-1X2=1X3=2Y=01/1203/12Y=3/22/121/121/12Y=23/121/120求条件分布律P{X=xi|Y=2}.)()()|(BPABPBAP解：X与Y的边缘分布如表：XYx1=-1x2=1x3=2p.jy1=01/1203/124/12y2=3/22/121/121/124/12y3=23/121/1204/12pi.6/122/122/124/12P{X=-1|Y=2}=p13/p.3=3/4；P{X=1|Y=2}=p23/p.3=1/4；P{X=2|Y=2}=p33/p.3=0；又如：P{X=1|Y=0}=p21/p.1=0等；)()()|(BPABPBAP例2:一射手进行射击,击中目标的概率为p(0p1),射击到击中的目标两次为止.设以X表示首次击中目标所进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求X和Y的联合分布律及条件分布律.解:按题意Y=n就表示在第n次射击时击中目标,且在第1次,第2次,……,第n-1次射击中恰有一次击中目标.已知各次射击是相互独立的,于是不管m(mn)是多少,概率P{X=m,Y=n}都应等于p·p·q·q…q=p2qn-2（这里q=1-p）.n次射击击中2nn-11……………….m击中)()()|(BPABPBAP即得X和Y的联合分布律为P{X=m,Y=n}=p2qn-2,n=2,3,…；m=1,2,…n-1.又11212212211},{}{mmmnnmnnmnpqqqpqpqpnYmXPmXP22112211)1(},{}{nnmnnmqpnqpnYmXPnYP.3,2;,2,1nm)()()|(BPABPBAP于是所求条件分布律为当n=2,3,…时.1,,2,1,11)1(}|{2222nmnqpnqpnYmXPnn当m=1,2,…时.2,1,}|{1122mmnpqpqqpmXnYPmnmn例如：P{Y=n|X=3}=pqn-4,n=4,5,….)()()|(BPABPBAP3.3.2二维连续型随机变量的条件分布密度设(X,Y)是二维连续型随机变量,这时由于对任意x,y有P{X=x}=0,P{Y=y}=0,因此不能直接用条件概率公式引入条件分布函数P{X≤x|Y＝y}.下面我们用极限的方法来处理.给定y,设对于任意固定的正数ε,P{y-ε＜Y≤y+ε}0,于是对于任意x有}{},{}|{yYyPyYyxXPyYyxXP上式给出了在任意y-ε＜Y≤y+ε下X的条件分布函数,现在我们引入以下的定义.)()()|(BPABPBAP1.条件分布函数的定义：给定y,设对于任意实数x,若极限}{},{lim}|{lim00yYyPyYyxXPyYyxXP存在,则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数,记为P{X≤x|Y=y}或记为FX|Y(x|y).2．公式：设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为f(x,y).若在点(x,y)处f(x,y),fY(y)连续,且fY(y)0,则有)()()|(BPABPBAP}{},{lim)|(0|yYyPyYyxXPyxFYXxYYXYxYXduyfyufyxFyfduyufyxF)(),()|()(),()|(||或写成，亦即)()(),(),(lim0yFyFyxFyxFYY2/)()(2/),(),(lim0yFyFyxFyxFYY)(),(yFdydyyxFY)()()|(BPABPBAP3.条件概率密度定义)(),()|(|yfyxfyxfYYX同理，)(),()|(|xfyxfxyfXXY称为在Y=y条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。称为在X=x条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。yXXYdvxfvxfxyF)(),()|(|类似地可以定义)()()|(BPABPBAP例1:设(X,Y)服从二维正态分布N(µ1,µ2,σ12,σ22,),求在X=x的条件下,Y的条件密度函数fY|X(y|x).解:(X,Y)的密度函数为]})())((2)([)1(21exp{121),(2222212121212221yyxxyxfyx，由上一节的例知道21212)(121)(xXexf所以X=x条件下Y的条件概率密度为)()()|(BPABPBAP]12)(exp[121)(),()|(2222112222|xyxfyxfxyfXXY这正是正态分布)1,(2221122xN)()()|(BPABPBAP例2:设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0x1)时,数Y在区间(x,1)上随机取值.求Y的概率密度fY(y).解:按题意X具有概率密度其它0101)(xxfX对于任意给定的值x(0x1),在X=x的条件下,Y的条件概率密度其它0111)|(|yxxxyfXY于是得联合概率密度为其它01011)()|(),(|yxxxfxyfyxfXXY)()()|(BPABPBAP于是得关于Y的边缘概率密度为其它010)1ln(11),()(0yydxxdxyxfyfyY)()()|(BPABPBAP例3:设(X,Y)的概率密度为其它042,0,0)24(163),(yxyxyxyxf求:(1)fY|X(y|x)；(2)P{Y2|X=1/2}。解：(1)先求X的边缘概率密度。其它020)2(83)24(163),()(2402xxdyyxdyyxfxfxX当0x2时，其它0240)2(224)(),()|(2|xyxyxxfyxfxyfXXY)()()|(BPABPBAP其它因为0309)3(2|)|()21|()2(21||yyxyfxyfxXYXY。所以91392)21|(}21|2{322|dyydyxyfXYPXY