概率论教案

概率论与数理统计教案第1页第一章随机事件与概率第一节随机事件教学目的：了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事件等基本概念；掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。教学重点：随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。教学难点：事件（关系、运算）与集合的对应，用运算表示复杂事件。教学内容：1、随机现象与概率统计的研究对象随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。研究现象：概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。2、随机试验（E）对随机现象的观察。特点①试验可在相同条件下重复；②试验的所有可能结果不只一个，但事先已知；③每次试验出现一个且出现一个，哪个出现事先不知。3、基本事件与样本空间（1）基本事件：E中的结果（能直接观察到，不可再分），也称为样本点，用表示。（2）样本空间：E中所有基本事件的集合称为这个随机试验E的样本空间，用表示。4、随机事件（1）随机事件：随机试验中可能发生也可能不发生的时间。用A、B、C等表示。（2）随机事件的集合表示（3）随机事件的图形表示必然事件（）和不可能事件（E）5、事件间的关系与运算（1）包含（子事件）与相等（2）和事件（加法运算）（2）积事件（乘法运算）（3）互斥关系（4）对立关系（逆事件）（5）差事件(减法运算)6、事件间的运算规律（1）交换律；（2）结合律；（3）分配律；（4）对偶律教学时数：2学时作业：习题一1、2第二节概率的定义教学目的：掌握概率的古典定义，几何定义，统计定义及这三种概率的计算方法；了解概率的基本性质。概率论与数理统计教案第2页教学难点：古典概率的计算，频率性质与统计概率。教学内容：1、概率用于表示事件A发生可能性大小的数称为事件A的概率，用P(A)表示。2、古典型试验与古典概率（1）古典型试验：特点①基本事件只有有限个；②所有基本事件的发生是等可能的。（2）古典概率，在古典型试验中规定P(A)=nkA中基本事件总数中含的基本事件数3、几何型试验与几何概率（1）几何型试验向区域G内投点，点落在G内每一点处是等可能的，落在子区域1G内(称事件A发生)的概率与1G的度量成正比，而与1G的位置和形状无关。（2）几何概率。在几何型试验中规律定P(A)=的度量的度量GG14、频率与统计概率（1）事件的概率设在n次重复试验中，事件A发生了r次，则称比值nr为在这n次试验中事件A发生的频率，记为nrAfn)(（2）频率的性质○11)(0Afn；○21)(nf；○30)(nf；○4AB时，)()()(BfAfBAfnnn；○5随机性：r的出现是不确定的；○6稳定性：)()(npAfn（3）统计概率，规定P(A)=P（4）统计概率的计算nrAp)((n很大)5、概率的基本性质从以上三种定义的概率中可归纳得到：（1）0;1)(AP（2）1)(P概率论与数理统计教案第3页（3）0)(P（4）若AB=，则)()()(BPAPBAp教学时数：2学时作业：习题一4、7、8、11第三节概率的公理化体系教学目的：掌握概率的公理化定义及概率的性质；会用概率的基本公式求概率。教学重点：概率的公理化定义；概率基本公式。教学难点：用概率基本公式计算概率。教学内容：1、概率的公理化定义（1）为什么要用公理定义概率○1数学特点；○2深入研究的需要；○3是第二节中三种特殊形式的扩展。（2）定义设A为随机试验E中的任何事件，如果函数P(A)满足公理一(范围)01)(AP；公理二(正则性)1)(P；公理三(可列可加性)。若可列个事件nAAAA321,,两个互斥，则)()(11nnnnAPAp则称P(A)为事件A的概率。2、概率的性质从公理出发，可以严格证明性质1：0)(P性质2：若事件nAAAA321,,两两互斥，则)()(11nninniAPAp性质3：对任何事件A，)(1)(APAP性质4：若P(A)-P(B)B)-P(A,则BA性质‘4P(AB)-P(B)A)-P(B)AP(B注：○1P(AB)-P(A)B)-P(A)BP(A概率论与数理统计教案第4页○2)()(BPAPBA性质5P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)注：性质5对任意有限个事件情况可以扩展教学时数：2学时作业：习题一15、16第四节条件概率，乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式教学目的：理解条件概率的定义和概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。使学生掌握条件概率和概率的乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式的应用。教学重点：条件概率、乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式。教学难点：条件概率的确定，用全概率公式和贝叶斯公式计算概率。教学内容：1、条件概率（1）实际问题中要确定在某事件已发生时，另一事件的概率，看书20p例，在具体问题求条件概率。（2）定义：若P(B)0，称)()()|(BPABPBAP为在事件B发生的条件下事件A的条件概率。2、概率的乘法公式(1))()()(BAPBPABP)()(ABPAP(2))()()()(ABCPABPAPABCP(3)12121312121)()()()(nnnAAAAPAAAPAAPApAAAP3、概率的全概率公式与贝叶斯公式(1)看书23p。例3分析和解决看两公式的实际背景。(2)定理1设事件nAAAA321,,两两互斥，且),2,1(0)(niAPi，对于任何事件B，若BAnii1，则有)()()(1niiiABpAPBp(全概率公式)(3)定理2，定理1中的事件中，又0)(BP，则有概率论与数理统计教案第5页)(BAPmniiimmABpAPABpAP1)()()()((m=1,2,n)(贝叶斯公式)教学时数：2学时作业：习题一12、14、17、18第五节独立试验概型教学目的：掌握独立性的概念。会判断数乘的独立性并进行概率计算；掌握贝努里概型，会用二项概率公式计算概率。教学重点：事件独立性的概念，具有独立性的事件但相应的概率计算，贝努里概型与贝努里概型意义的正确理解。教学内容：1、两事件的独立性定义1对任意两事件A，B，如果P(AB)=P(A)P(B)则称事件A、B相互独立。2、两事件独立的性质若事件A与B独立，则事件A与B，B与A，B与A都相互独立。3、三事件的独立性定义2设有事件A、B、C，若有P(AB)=P(A)P(B)、P(AC)=P(A)P(C)、P(BC)=P(B)P(C)，则称事件A，B，C，两两相互独立；又，若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A，B，C相互独立。4、n个事件的独立性定义3、设有事件nAAAA321,,，若siiiApApAP)()(21其中(siii,,,21)为(1,2，)n中任意S个不同的数。（2,3,,sn）则事件nAAAA321,,相互独立。5、独立情况的概率公式定理1．设事件nAAAA321,,相互独立，则（1）11()()nniiiiPAPA（2）11()1()nniiiiPAPA定理2、若事件,,ABC独立，则ABABAB、、分别与C独立。6、贝努里概型（1）贝努里试验：只有两个结果（A和A）的试验。(),(),01,1PApPAqPpq概率论与数理统计教案第6页（2）n重贝努里试验：把同一个贝努里试验独立地重复n次。也称贝努里概型。7．二项概率公式在n重贝努里试验中，时间A恰好发生k次的概率为(),0,1,2,,kknknnPkCpqkn教学时数：2学时作业：习题一19、23、26、27、28第二章随机变量及其分布第一节随机变量与分布函数教学目的：掌握随机变量的概念，并利用其表示随机事件，掌握随机变量的分布函数的概念和性质。教学重点：随机变量的概念；随机变量分布函数的定义及其性质。教学难点：对随机变量及其分布函数的正确理解。教学内容：1．随机变量的概念（1）引入随机变量的目的深入研究随机试验；求概率；整体描述随机试验。（2）定义定义1、设随机试验的样本空间为，若，有一个实数()与之对应，则()称为随机变量，并简记为。2．事件的表示（1）对的取值加上、、、形式的限制条件。（2）S为一个数集。S3．概率分布（1）随机变量取得概率的点及其数量的分布情况。（2）可用的概率分布确定表示的事件的概率（3）两个大的类型：离散型随机变量与连续型随机变量4．分布函数（1）定义2、设有随机变量，对于任何实数x，称概率()Px为随机变量的分布函数。记为()()()FxPxx概率论与数理统计教案第7页（2）分布函数的几何意义落在数轴x点左侧（含x点）处概率的数量。（3）,()()()abPabFbFa5．分布函数的性质（1）0()1Fx（2）()0,()1FF（3）()Fx是单调不减函数，ab则()()FaFb（4）()Fx是右连续函数，即,(0)()xFxFx教学时数：2学时作业：习题二5第二节离散型随机变量及其概率分布教学目的：掌握离散型随机变量的概念及其概率分布的几种表示方法；掌握四种常见的离散性分布。教学重点：离散型随机变量的概率分布；01分布、二项分布、泊松分布、超几何分布四种常见分布。教学难点：正确理解概率分布；四种常见分布与所描述试验的对立性。教学内容：1．离散型随机变量如果随机变量的所有可能取值只有有限个或可列个，则称为一个离散型随机变量。2．概率分布取值：12,,,,ixxx（1）图形表示（2）公式表示(),1,2,iiPxpi（3）表格表示3．概率分布的基本性质（1）0,1,2,ipi（2）11iip概率论与数理统计教案第8页4．确定概率()iixSPSp5．求分布函数()iixxFxp（阶梯型函数）6．常见的离散型分布（1）01分布（2）二项分布（3）泊松分布（3）超几何分布教学时数：2学时作业：习题二3、6、7、9第三节连续型随机变量及其概率密度函数教学目的：掌握连续型随机变量及其概率密度函数的定义；会求概率；掌握均匀分布和指数分布。教学重点：连续型随机变量；概率密度函数；均匀分布和指数分布。教学难点：正确理解概率密度函数教学内容：1．连续型随机变量及其概率密度的定义（1）说明当随机变量取值充满某区间时，象离散型情况那样给出概率分布的不可行性。（2）连续取值随机变量的概率（线）密度00()()()()limlim()xxPxxxFxxFxfxFxxx（在分布函数()Fx的可微点处）（3）定义设随机变量的所有可能取值充满某个区间，如果存在一个非负函数()fx，使得的分布函数()()()()FxPxftdtx则称为一个连续型随机变量。()fx称为的概率密度函数（或分布密度函数）2．()fx的性质（1）()fx相当于离散型概率分布中的ip。（2）基本性质○1()0fx；○2()1fxdx概率论与数理统计教案第9页（3）,()()baabPabfxdx（4）几何意义（5）,()0aPa，从而()()()()()baPabPabPabPabfxdx（6）()()fxFx（在()fx的连续点处）（7）()Fx是连续函数。3．两个常见的连续函型分布（1）均匀分布（2）指数分布教学时数：2学时作业：习题二11、14、15、16第四节正态分布教学目的：正态分布是概率统计中最重要的分布，掌握正态分布的定义、特点，标准正态分布，正态分布中的概率计算。教学难点：正态分布的定义、特点、标准正态分布，概率计算（查表）教学难点：对正态分布的正确理解教学内容：1．正态分布（1）定义：如果随机变量的概率密度为2221()2xfxex，其中，0为常数