整除的判定

学科：奥数年级：初二不分版本期数：347本周教学内容：整除的判定【内容综述】我们知道，任意两个整数相加、相减、相乘的结果都是整数，而两个整数相除，它们的商就不一定是整数了，也就是说，整数对加、减、乘运算是封闭的，而对于除法并不是封闭的，这样就出现了整除和余数这两个概念。本期主要研究整除性和整除的判定，以及余数问题等。本期所涉及的字母如无特别说明都表示整数。【要点讲解】§1.整除性30除以6得到的商是5，我们就叫30能被6整除，31除以6得到的商不是整数，31就不能被6整除。一般地，若整数除以整数所得的商是一个整数,即存在一个整数q，使得a=bq成立，就叫做能被b整除，或叫做ｂ能整除,记作b|a，这时称是b的倍数，b是的约数（或因数）。显然，+1和-1是任何整数的约数，0是任何非零整数的倍数，是它本身的约数，也是它本身的倍数。关于整除有下面一些明显的结论：（1）若a|b,b|c,则a|c（2）若c|a,c|b,则c|ma+nb,特别地，c|a+b,c|a-b.（3）若b|a,n为整数，则b|na.应用这些性质可以解决一些简单的约数和倍数问题。★例1N=是一个被17整除的四位数，求x。解因N|17,17|所以)x24(|17而x为0～9的整数,故只有当x=2时,才有可能)x24(|17。故x=2为所求。★★例2若是互不相等的整数，且整数x满足等式求证：4|(a+b+c+d)证明：已知等式可化为由于是互不相等的整数，则也是互不相等的整数，且均为9的约数，于是只能等于9的四个互不相等的约数：+3，-3，+1，-1，即=4故)dcba(|4§2、带余除法若不能被b整除，得到一个整数商后还会有余数。比如14被3除，得到商是4，余数是2，被除数14，除数3，商数4和余数2之间可用这样一个表示。14=实际上，这个结果可以推广到一般情况，这就是下面的定理：对于整数和b，存在唯一的整数q和r，使得=bq+r|)b|rO(成立。其中r是被b除的余数。对余数r的限制是q和r唯一性的保证。若取消了的限制，则q和r就不唯一。例如用3除14可以写成14=3，，等等，在这样的等式中，r=-1或r=14，都违反了的限制。有了上面的结论，我们就可以很方便地将整数划分成若干类。例如，若b=3，则任意一个整数除以3所得的余数可能是0，也可能是1或2，因此数可以写成3k,3k+1,3k+2这三种形式，除数3也称作模，一般地，整数按被b除时的余数可分成b类，这b类数可分别用bk,bk+1,bk+2,···,表示，其中k为整数。这样把整数所分的类叫作以b为模的同余类。把整数分为余类是解整问题最常用的一种方法。★★★例34个数2613，2243，1503，985被同一自然数除时所得的余数相同（但不为零），求除数和余数。思路从表面上看，这个问题似乎无从入手，但是前面的定理已经给出了被除数、除数、商和余数四者的唯一关系，我们可暂时设出除数和余数，然后利用整除性来确定它们。解设除数为b，余数为r，依题意有2613，①，②，③，④①—②得③—④得518)qq(b43显然,370和518都能被b整除,即b是370和518的公约数。因为370和518的大于1的公约数有2，37，74，所以b=2,37,74,此时r=1，23，23。故除数为2时余数是1，除数为37时余数是23，除数是74时余数是23。★★★★例4证明：如果和b是整数，那么，b,,中一定有一个能被5整除。证明若，b之中有一个能被5整除，则此题得证。若，b之中任何一个都不能被5整除，则，b只能为型，型，由于于是，为5m+1型或5m+4型。若和同为5m+1型或同为5m+4型，则能被5整除。若和一个为5m+1型，另一个为5m+4型，则能被5整除。于是，，b,,中一定有一个能被5整除。§3常见数的整除特征给出一个整数A，要求判断这个数能否被某个非零整数m整除，这是在整除问题中常常需要解决的问题。因此，就要研究数能被某些非零整数整除的特征。⑴能被2,4,5,8整除的数的特征显然易见,当A的个位数能被2整除时,A能被2整除;反之,若A能被2整除,则能被2整除,即（结论1）同样有（结论2）（结论3）（结论4）前两个结论比较明显,对于结论3作如下证明。由100能被4整除，所以，于是当时，；反之，当时，结论4的正确性请同学们类似地证明。⑵能被3,9整除的数的特征如果A的各位数之和能被3(或9)整除,那么A也能被3(或9)整除;返过来,如果A能被3(或9)整除,那么A的各位数字之和也能被3(或9)整除。下面以四位数为例，对于多位数只要进行类似的推理就可以了。设，则显然，能被3（也能被9）整除。若能被3（或9）整除，则A能被3（或9）整除；反之，若A能被3（或9）整除，则能被3（或9）整除。⑶能被11整除的数的特征如果A的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,那么A也能被11整除.反之也成立.仍以四位数为例.对于多位数可类推.显然,能被11整除，于是若，则；反之，若，则。⑷能被7（11，13）整除的数的统一特征。若A的末三位与A去掉末三位尾数后数之差是7（或11，13）的倍数，则A能被7（或11，13）整除。⑸连续整数的乘积的整除性。对于两个连续整数n和n+1，其中必有一个偶数，因此乘积能被2整除。对于三个连续整数n,n+1,和n+2，其中必有一个偶数，也必有一个能被3整除，因而乘积能被整除。一般地可以推导，k个连续整数的乘积能被123)2k()1k(k整除。说明1·2·3…k，可称作k的“阶乘”，记作k！例5已知，且能被9整除，求。解由于能被9整除，所以5+y+9=14+y能被9整除，又因为，所以y=4。本题的等式变为+326=549，即=549-326=223因而，=6★★★例6若4b+2c+d=32，试问能否被8整除？请说明理由。分析要说明能否被8整除，根据被8整除的数的特征，只要判断能否被8整除。解由=100b+10c+d=96b+8c+=96b+8c+32=知，从而★★★★例7用0，1，2，…，9这个十个不同的数字组成能被11整除的十位数，求这类数中的最大者和最小者。解先求能被11整除的最大十位数。设十位数中五位奇数位的数字之和为，五位偶数位的数字之和为y。由于这十位数是由0，1，2，…，9组成，所以+y=0+1+2+…+9=45又由能被11整除数的特征，-y能被11整除，于是有，11，22因为+y是奇数，则-y也应为奇数，所以。由此得出=28，y=17或=17,y=28。为了排出最大的十位数，在前几位尽量选用9，8，7，6若前四位为9876，则由9+7=16，8+6=14可知，于是只有=28，y=17。此时，除9，7外，另三位奇数字之和为28-16=12；除8，6外，另三位偶位数字之和为17-14=3，由此，偶位数字只能取2，1，0，从而奇位数字取5，4，3由此得到，能被11整除的最大的十位数是9876524130。同法可得，能被11整除的最小的十位数是1024375869。本周强化练习：A级★1、下面4个七位数中，有且仅有一个能被8整除，这个数是（）(A)23□□372（B）53□□164(C)5□□3416(D)71□□172★★2、n是任意的整数，有三个多项式：⑴⑵⑶其中能够被6整除的多项式个数是()。（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个★★3、一个两位数，加上3可被3整除，加上4可被4整除，加上5可被5整除，则这个两位数是________。★★★4、能被13整除，但被2、3、4、5、6除都余1的最小的自然数是________________。★★★★5、已知五位数能被72整除，求、y的值。B级★★6、已知五位数能被3整除，它的最末两个数字组成的两位数能被6整除，则代表的数字是（）。（A）2或6（B）2或8（C）4或6（D）4或8★★★7、在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除不能被3整除的个数是（）。（A）33（B）34（C）35（D）37★★★8、用6，7，8，9四个数组成的各位数字互不相同的四位数中，能被11整除的数有______个。★★★★9、由1，2，3，4，5，6这个6个数字组成一个没有重复数字的六位数，能使得4个三位数，，依次被4，5，3，11整除，求这个六位数。★10、试判断的整除性。★11、试求：1804353499的一个质因数。五、参考答案或提示A级1、（C），提示：根据被8整除数的特征去判断。2、（D），提示：易证，而，所以。另无论n是奇数还是偶数都有，且当n=3m,3m+1,3m+2时，都有。而2与3互质，故)n11n(|63。3、60。提示：所求两位数既能被3整除，又能被4整除，还能被5整除，即能被3，4，5的最小公倍数60整除，而能被60整除的两位数只有60。4、481。提示：数2，3，4，5，6的最小公倍数是60，因此所求的数为60p+1(p是自然数)。又已知，而60p+1=,所以，即，由此得，于是5p-1=13k（k为自然数）。从而=51k3k2。显然，当k=3时，为整数。此时p=8，所以所求最小自然数为。5、因为能被72=8整除，且8和9互素，所以既能被8整除，也能被9整除，从而y79|8，，由此求得。B级6、（B）。提示：由能被6整除知，既能被2整除，又能被3整除，所以为偶数，且7+是3的倍数，从而=2或8。7、（B）。提示：能被2整除的数的个数减去既能被2整除又能被3整除的数的个数。8、8。提示：由6+9=7+8知，符合要求的四位数有6798，6897，9768，9867，7689，7986，8679，8976。9、由及d取自于1，2，3，4，5，6，得d=5。又def|11，则是11的倍数，所以，但，则，即又6e，则，所以，从而e=6。由，得能被3整除，而由，可知c为偶数，只能c=4。进一步推知。故。10、能分别被7，11，13整除。，而7|0，0|11，0|13；例|62|62可分别被7，11，13整除；11、13；考虑如下算式而