立体几何考试题型总结文

立体几何一、选择填空题1.点线面的位置关系1．[2014·辽宁卷4]已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【答案】B2．[2014·浙江卷6]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【答案】C2.几何体的三视图、体积与表面积3．[2014·新课标全国卷Ⅱ6]如图1­1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()图1­1A.1727B.59C.1027D.13【答案】C4．[2014·浙江卷3]某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()图1­1A．72cm3B．90cm3C．108cm3D．138cm3【答案】B5．[2014·四川卷4]某三棱锥的侧视图、俯视图如图1­1所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高)()图1­1A．3B．2C.3D．1【答案】D6．[2014·安徽卷8]一个多面体的三视图如图1­2所示，则该多面体的体积是()图1­2A.233B.476C．6D．7【答案】A7．[2014·湖北卷7]在如图1­1所示的空间直角坐标系O­xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图1­2A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【答案】D8．[2014·辽宁卷7]某几何体三视图如图1­2所示，则该几何体的体积为()图1­2A．8－π4B．8－π2C．8－πD．8－2π【答案】C9．[2014·重庆卷7]某几何体的三视图如图1­2所示，则该几何体的体积为()图1­2A．12B．18C．24D．30【答案】C10．[2014·全国新课标卷Ⅰ8]如图1­1，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【答案】B11．[2014·湖南卷8]一块石材表示的几何体的三视图如图1­2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()图1­2A．1B．2C．3D．4【答案】B12．[2014·福建卷3]以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A．2πB．πC．2D．1【答案】A13．[2014·陕西卷5]将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4πB．3πC．2πD．π【答案】C14．[2014·天津卷10]一个几何体的三视图如图1­2所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.【答案】20π315．[2014·北京卷11]某三棱锥的三视图如图1­3所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．【答案】22图1­316．[2014·山东卷13]一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．【答案】123.几何体的外接球17．（2013年高考辽宁卷（文））已知三棱柱111ABCABC的6个顶点都在球O的球面上,若34ABAC，,ABAC,112AA,则球O的半径为（）A．3172B．210C．132D．310【答案】C18．[2014·全国卷10]正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.81π4B．16πC．9πD.27π4【答案】A二、解答题1、证明平行（1）证明线线平行1．[2014·安徽卷19]如图1­5所示，四棱锥P­ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.图1­5(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．解：(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO⊥平面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD.又EF⊂平面ABCD，所以GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝14DB＝12OB，即K是OB的中点．再由PO∥GK得GK＝12PO，所以G是PB的中点，且GH＝12BC＝4.由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.（2）证明线面平行2．[2014·江苏卷16]如图1­4所示，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.图1­4解：（1）∵DE，为PCAC，中点∴DE∥PA∵PA平面DEF，DE平面DEF∴PA∥平面DEF（2）∵DE，为PCAC，中点∴132DEPA∵EF，为ACAB，中点∴142EFBC∴222DEEFDF∴90DEF°，∴DE⊥EF∵//DEPAPAAC，，∴DEAC∵ACEFE∴DE⊥平面ABC∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．3．[2014·湖北卷20]如图1­5，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.图1­5证明：(1)构造三角形法：连接AD1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1，从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1，而AC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1，同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.4．[2014·天津卷17]如图1­4所示，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝2，AD＝2，PA＝PD＝5，E，F分别是棱AD，PC的中点．(1)证明：EF∥平面PAB；(2)若二面角P­AD­B为60°.(i)证明：平面PBC⊥平面ABCD；(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．解：(1)构造平行四边形法证明：如图所示，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，所以MF∥BC，且MF＝12BC.由已知有BC∥AD，BC＝AD，又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM.又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)(i)证明：连接PE，BE.因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，所以PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P­AD­B的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝5，AD＝2，可解得PE＝2.在△ABD中，由BA＝BD＝2，AD＝2，可解得BE＝1.在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60˚，由余弦定理，可解得PB＝3，从而∠PBE＝90˚，即BE⊥PB.又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD.(ii)连接BF，由(i)知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由PB＝3及已知，得∠ABP为直角，而MB＝12PB＝32，可得AM＝112，故EF＝112.又BE＝1，故在直角三角形EBF中，sin∠EFB＝BEEF＝21111.所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为21111.（3）证明面面平行5．（2013年高考陕西卷（文））如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,12ABAA.OD1B1C1DACBA1(Ⅰ)证明:A1BD//平面CD1B1;(Ⅱ)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.【答案】解:(Ⅰ)线线平行构造设111ODB线段的中点为.11111111//DBBDDCBAABCDDBBD的对应棱是和.的对应线段是棱柱和同理，111111DCBAABCDOAAO为平行四边形四边形且且11111111//////OCOAOCOAOCOAOCAOOAAO1111111111//,.//BCDBDAODBCOOBDOACOOA面面且.(证毕)(Ⅱ)的高是三棱柱面ABDDBAOAABCDOA11111.在正方形ABCD中,AO=1..111OAOAART中，在11)2(2121111111OASVABDDBAABDABDDBA的体积三棱柱.所以,1111111ABDDBAVABDDBA的体积三棱柱.2.证明垂直（1）线面垂直6．[2014·湖南卷18]如图1­3所示，已知二面角α­MN­β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.图1­3(1)证明：AB⊥平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值．解：(1)线面垂直的判定定理证明：如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB.连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.(2)因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角．由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α­MN­β的平面角，从而∠DEO＝60°.不妨设AB＝2，则AD＝2，易知DE＝3.在Rt△DOE中，DO＝DE·sin60°＝32.连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝DOAD＝322＝34.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为34.7．[2014·重庆卷20]如图1­4所示四棱锥P­ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3，M为BC上一点，且BM＝12.(1)证明：BC⊥平面POM；(2)若MP⊥AP，求四棱锥P­ABMO的体积．图1­4解：(1)勾股定理证明线线垂直证明：如图所示，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形的中心，连接OB，则AO⊥OB.因为∠BAD＝π3，所以OB＝AB·sin∠OAB＝2sinπ6＝1.又因为BM＝12，且∠OBM＝π3，在△OBM中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM＝12＋122－2×1×12×cosπ3＝34，所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内的两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC⊥平面PO