隐函数求导公式

第六讲隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、引言二、一个方程确定的隐函数的情形三、方程组确定的隐函数组的情形隐函数的求导公式一、引言二、一个方程确定的隐函数的情形三、方程组确定的隐函数组的情形隐函数概念)(xfy显函数0),(yxFyx隐函数隐函数的显化0),,(zyxFzyx),((二元)隐函数研究问题在什么条件下,方程能够确定隐函数.方程确定的隐函数有什么性质连续性?可导性?…对方程确定的隐函数如何求导.隐函数组概念),(),(yxvvyxuu(显)函数组研究问题在什么条件下,方程组能够确定隐函数组.方程组确定的隐函数组有什么性质连续性?可导性?…对方程组确定的隐函数组如何求导.0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF),(),(vuyx隐函数组隐函数组的显化隐函数的求导公式一、引言二、一个方程确定的隐函数的情形三、方程组确定的隐函数组的情形隐函数的求导公式一、引言二、一个方程确定的隐函数的情形三、方程组确定的隐函数组的情形;0),(00yxF则方程F(x,y)=0在点x0的某邻域内可唯一确定一个函数y=f(x)yxFFxydd隐函数求导公式①具有连续的偏导数;设函数在点的某一邻域内满足:0),(00yxFy②③定理1y=f(x)具有如下性质:①②在x0的上述邻域内连续③在x0的上述邻域内连续可导,且有推导Fxyx复合关系图注Fx和Fy分别表示F对x和对y求偏导分子和分母不要颠倒不要丢掉负号yxFFxydd在中验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个可导隐函数.0dd,0dd22xxyxxy并求例1;0),,(000zyxF则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0)的某邻域内可唯一确定一个函数z=f(x,y),z=f(x,y)具有如下性质:.,zyzxFFyzFFxz隐函数求导公式①具有连续的偏导数;设函数在点的某一邻域内满足:,0),,(000zyxFz②③定理2①②在(x0,y0)的上述邻域内连续；③在(x0,y0)的上述邻域内连续可导,且有推导复合关系图注Fx和Fz分别表示F对x和对z求偏导分子和分母不要颠倒不要丢掉负号zxFFxz在中例2Fxyzyx设求,04222zzyx.22xz例3设(,)uv具有连续偏导数,证明由方程(,)0cxazcybz所确定的函数(,)zfxy满足.zzabcxy隐函数的求导公式一、引言二、一个方程确定的隐函数的情形三、方程组确定的隐函数组的情形隐函数的求导公式一、引言二、一个方程确定的隐函数的情形三、方程组确定的隐函数组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由F、G的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为F、G的雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,,0),,,(0000vuyxF③的某一邻域内具有连续偏导数;①在点②设函数满足:,0),(),(PvuGFPJ;0),,,(0000vuyxG则方程组0),,,(,0),,,(vuyxGvuyxF),(00yx在点的连续函数),,(,),(yxvvyxuu且有偏导数公式:的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,),(000yxuu),(000yxvv定理3,),(),(1vxGFJxu,),(),(1vyGFJyu,),(),(1xuGFJxv.),(),(1yuGFJyv两边对x求导0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF若在点P的某邻域内系数行列式J≠0xuxvxuxvxFuFvF0xGuGvG0解方程组即得结论推导隐函数组视u,v为x,y的函数Fxyuvxy复合关系图例4其中f,g具有一阶连续偏导数,设2(,)(,)ufuxvyvguxvy,.uvxy求解题思路确定因变量个数与自变量个数.明确变量个数与方程个数确定因变量个数方程个数确定自变量个数变量个数方程个数(1)(2)明确因变量与自变量.题目要求(3)方程两边求偏导.2)求对x,y的偏导数.1)证明函数组的某一邻域内在与点(u,v)对应的点(x,y)唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数例5设求0,1,xuyvyuxv,.uvxy例6设函数在点(u,v)的某一邻域内连续且有连续偏导数,又