隐函数求导法则

一、一个方程的情形二、方程组的情形三、小结0),(.1yxF一、一个方程的情形隐函数的求导公式.xyFdydxF隐函数存在定理1设函数(,)Fxy在点00(,)Pxy的某一邻域内具有连续的偏导数，且00(,)0Fxy，00(,)0.yFxy则方程(,)0Fxy在点00(,)Pxy的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()yfx，它满足条件00()yfx，并有两边对x求导yxFFxydd0yF在的某邻域内则仅就公式推导如下记作若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF()xyFyF2()xyyyyxxyyFFFFFFF二阶导数:)(yxFFxxyxxydd则还有22ddxy2()()xxxyyxyxyyydydyFFFFFFdxdxF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFxF()xyFddxFxyxyxFFxydd将代入得法2例１验证方程0122yx在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个有连续导数且0x时1y的隐函数)(xfy，并求这函数的一阶和二阶导数在0x的值.解令1),(22yxyxF则,2xFx,2yFy,0)1,0(F,02)1,0(yF依定理知方程0122yx在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个有连续导数且0x时1y的函数)(xfy．.1,000yx均连续。yxFFdxdy,yx010,xydydx222yyxydxyd2yyxxy,13y22011.xydydx函数的一阶和二阶导数为例2已知xyyxarctanln22，用公式求dxdy.解令则,arctanln),(22xyyxyxFxxxyyxFarctanln2222222211221xyxyyxxyx22yxyxyyxyyxFarctanln22,22yxxyyxFFdxdy.xyyxxxyyxyyx111221222220),,(.2zyxF隐函数存在定理2设函数(,,)Fxyz在点000(,,)Pxyz的某一邻域内有连续的偏导数，且000(,,)0Fxyz，000(,,)0zFxyz，则方程(,,)0Fxyz在点000(,,)Pxyz的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,),zfxy它满足条件000(,)zfxy，并有xzFzxFyzFzyF.两边分别对x，y求导xzFzxF0zF在的某邻域内则仅就公式推导如下设由F(,,)0xyz确定的隐函数为(,)zfxyyzFzyF例3设04222zzyx，求22xz.解令则,4),,(222zzyxzyxF,2xFx,42zFzzxFFxz22xz2)2()2(zxzxz2)2(2)2(zzxxz.)2()2(322zxz,2zx2dzxdxz0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF二、方程组的情形？何时唯一确定函数),(),,(yxvvyxuu?xu?yu?xv?yv隐函数存在定理3设),,,(vuyxF、),,,(vuyxG在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且,,(00yxF0),00vu，0),,,(0000vuyxG，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）),(),(vGuGvFuFvuGFJ在点),,,(0000vuyxP不等于零，则方程组0),,,(vuyxF、0),,,(vuyxG在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu，1(,),(,)xvuvxvuvFFFFuFGGGGGxJxv),(yxvv，它们满足条件),(000yxuu,vv0),,(00yx并有1(,)(,)uxuvuxuvFFFFvFGGGGGxJux,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu.),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv线性方程组与克莱默法则若方程组111222axbycaxbyc的系数行列式111221220abJababab，则方程组有唯一解：112221121221cbcbbcbcxJabab；112212211221acacacacyJabab。xuuxvuGxvGxuGFxvFxuF这是关于xvxu,的二元线性方程组。vuvuGGFFD,0J方程组有唯一解。vxvxGGFFD1vxvxGGFF),(),(vxGFxuxuGGFFD2xuxuGGFF),(),(xuGFDDxu1.),(),(1vxGFJDDxv2.),(),(1xuGFJ类似，对0)],(),,(,,[0)],(),,(,,[yxvyxuyxGyxvyxuyxF等式两边对y求导，得关于yvyu,的线性方程组。解方程组得yu.),(),(1vyGFJyv.),(),(1yuGFJDDxu1.),(),(1vxGFJDDxv2.),(),(1xuGFJ例4设1,0xvyuyvxu，求xu，yu，xv和yv.一般不会直接代入公式；而是运用公式推导过程用到的的方法解将所给方程的两边对x求导并移项:,vxvxxuyuxvyxuxxyyxJD,22yx当0JD时，DDxu1,22yxyvxuDDxv2,22yxxvyu将所给方程的两边对y求导，用同样方法得,22yxyuxvyu.22yxyvxuyvxvyuD1,yvuxvyuxD2.xvyuxyyxJD,22yx隐函数的求导法则0),()1(yxF0),,()2(zyxF0),,,(0),,,()3(vuyxGvuyxF三、小结（分下列几种情况）常用解法：可用公式法方程两边求导法例5.设函数在点(u,v)的某一1)证明函数组某一邻域内2)求解:1)令0),(),,,(vuxxvuyxF0),(),,,(vuyyvuyxG对x,y的偏导数.在点(x,y,u,v)的邻域内有连续的偏导数,且唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数①式两边对x求导,得uy0xvxu1xuxvuxvxvy则有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理3可知结论1)成立.2)求反函数的偏导数.①②,0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJuyJ1011uyuxJ从方程组②解得同理,①式两边对y求导,可得,1vxJyuuxJyv1作业P371,3,5,10(1)(2)