隐函数的微分法

8.5隐函数的微分法8.5.1一个方程确定的隐函数0?))(,()使得(可确定函数满足什么条件0,)(，方程地一般xfxFxfyyxF,,;或者，,可得函数0,满足方程设yxxyyxx,y22?的函数关系之间能否得到,满足若)(,,xfyyxeyxyxxy0),(.1yxF隐函数存在定理1设),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内满足：(1)具有连续的偏导数，(2)0),(00yxF，(3)0),(00yxFy.则方程0),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内恒能唯一确定一个具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件)(00xfy，并有隐函数的求导公式.FFdxdyyx求导数，得：两边对方程xxfxF0))(,(.FFdxdyyx,0dxdyFFyx定理证明从略，仅就求导公式推导如下：0yF在的某邻域内例１验证方程0122yx在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个可导、且0x时1y的隐函数)(xfy，并求这函数的一阶和二阶导数在0x的值.解令1),(22yxyxF则依定理知方程0122yx在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个可导、且0x时1y的函数)(xfy．,2yFy,2xFx①连续,0)1,0(F②,02)1,0(yF③函数的一阶和二阶导数为yxFFdxdy,yx,00xdxdy222yyxydxyd2yyxxy,13y.1022xdxyd)11(,12xxy事实上，这个函数就是例2已知xyyxarctanln22，求dxdy.解令则,arctanln),(22xyyxyxF,),(22yxyxyxFx,),(22yxxyyxFyyxFFdxdy.xyyx,),(时当022yxxyyxFy.,xyxyyxdd)sin(求例３设,)sin()(:则令解xyyxx,yF.)cos()cos(xyxyxyxyxyyx)cos()cos(yxFFdxdy,0)cos(时当xyxFy.)cos(xyxFy,)cos(yyxFx例4.已知方程解:令0dd,0dd22xxyxxy，求,1sin),(yxeyyxFx,yeFxxxyFycos0ddxxy0xFFyxxycosyex0,0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos(xy3100yyx)(yex)(cosxy)(yex)1sin(yy100yyx法一：公式法0xy30dd22xxy)(,01sinxyyyxeyx两边对x求导两边再对x求导yyyycos)(sin2令x=0,注意此时1,0yy)0,0(cosxyyex法二：直接求导法法三：微分法01yxeyxsin两边同时求微分0xdxdy)0,0(cosxyyex则0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos(xy3100yyx100yyx)(yex)(cosxy)(yex)1sin(yy.及,或者，,或者，,可得二元函数0,设有方程xzyxzyyzxyxzzyx222)?,,(或者,),,(可确定隐函数什么条件下，这些方程在0,),,,(或者，0,),,(，设有方程地一般2121nnxxxfuyxfzuxxxFzyxF,0),,(.2zyxF隐函数存在定理2(1)设函数),,(zyxF在点,(0xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，(2),(0xF0),00zy，(3)0),,(000zyxFz，则方程,,(yxF0)z在点),,(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确定一个具有连续偏导数的函数),(yxfz，它满足条),(000yxfz，并有隐函数的求导公式zxFFxzzyFFyz求导公式推导：求导，得和两边分别对0,)),(,,(由yxyxfyxF,FFxzzx,FFyzzy,xzFFzx0,yzFFzy0例5设04222zzyx，求22xz.解令则,4),,(222zzyxzyxF,2xFx,42zFz,2zxFFxzzx22xz2)2()2(zxzxz2)2(2)2(zzxxz.)2()2(322zxz.),,(,),,(,),,(,1111111114322222yxzyzxzzyx求例６设.92)1,1,1(2yxz.9232331332222zxyzzyxzzxzxzxyxzyyy.32)1,1,1(,3264yzzyzyFFyzzy.31)1,1,1(,362,0xzzxzxFFxzzzx时当,6,4,2zFyFxFzyx则令解,432),,(:222zyxzyxF例7设),(xyzzyxfz，求xz，yx，zy.思路：把z看成yx,的函数对x求偏导数得xz，把x看成yz,的函数对y求偏导数得yx，把y看成zx,的函数对z求偏导数得zy.解法一（直接求导法）把z看成yx,的函数对x求偏导数得xz)(xzf11),(xzxyyzf2整理得xz,21211fxyffyzf把x看成yz,的函数对y求偏导数得)(101yxf),(yxyzxzf2)],([xyzzyxfz整理得,2121fyzffxzfyx把y看成zx,的函数对z求偏导数得)(111zyf),(zyxzxyf2整理得zy.21211fxzffxyf)],([xyzzyxfz解法二(公式法）),(),,(xyzzyxfzzyxF令yzffFx211则xzffFy211xyffFz2111zxFFxz于是21211fxyffyzfxyFFyx21211fxzffxyfyzFFzy2121fyzffxzf8.5.2方程组确定的隐函数01012zyxzyx;)xx(y)x(xz22221210202vuyxvuyx;y)(xuy)x(v321321例如又如.程组解用行列式表示补充知识：二元一次方）（）（二元一次方程组2,1;2222111211byaxabyaxa）（，得）（）（，得423)1(12222121221122212212221122abyaaxaaaabyaaxaaa，得消去21212221122211babaxaaaay12212211212122aaaababax22211211221111aaaababay同理：22211211222121aaaaababx表示为：方程组解.,,,,,DDyDDxbabaDababDaaaaaaaaDbyaxabyaxa212211112222121121122211222112112222111211则系数行列式式解法：二元一次方程组的行列的雅可比行列式对变量，）函数（）（数；某邻域具有连续的偏导在点，）（满足条件：，设两个函数定理zyGFzyxGzyxFzyxGFGF,3;0),,(,0),,(2),,(13000000000.),()(),();(0),,(0),,(000续这两个函数的导函数连，并且满足唯一确定一组单值函数方程组xzzxyyxzzxyyzyxGzyxF的某邻域，在此邻域内则存在点),,(0000zyxGGFFzyzy求导公式推导如下：求导，得两边对中,在方程组xx,zxx,yGx,zxx,yF,0))()((;0))()((0101dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyxxzyxzyGdxdzGdxdyGFdxdzFdxdyF时，当0yyzyGGFF,,zyzyxyxyzyzyzxzxGGFFGGFFdxdzGGFFGGFFdxdy.,)(),(,;dxdzdxdyxzxyzyxzyx的导数确定的函数例１　求由方程组010222,01;0222dxdzdxdydxdzzdxdyyxx求导数，得解：方程组两边对,1;222dxdzdxdyxdxdzzdxdyyzyyxzyxyzyxydxdz2222221122zyzxzyzxzyzxdxdy2222221122时，当0221122zyzy隐函数存在定理3(1)设),,,(vuyxF、),,,(vuyxG在),,,(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，(2)0),,,(0000vuyxF,),,,(0000vuyxG0，(3)偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）vGuGvFuFvuGFJ),(),(0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF一般地，方程组满足什么条件，可以确定函数?),(),,(yxvvyxuu在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一组具有连续偏导数的函数),(yxuu,),(yxvv，它们满足条件),(000yxuu,vv0),(00yx，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu在点不等于零，则方程组),,,(0000vuyxP0),,,(vuyxF0),,,(vuyxGvuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu.),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv求导公式推导如下:求导，得两边对中,0)),(),,(,,(0)),(),((在方程组xyxvyxuyxGyxvx,yuyxF,,00xvGxuGGxvFxuFFvuxvuxxvuxvuGxvGxuGFxvFxuF公式.vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv),(),(1,),(),(vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu1例2设0yvxu，1xvyu，求xu，yu，xv和yv.解法一直接代入公式；解法二运用推导公式的方法，将所给方程的两边对求导并移项x,vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ,22yx在0J的条件下，xyyxxvyuxu,22yxyvxuxyyxvyuxx