北师大版 高一数学必修1第1章

第一章集合必修12011高考导航考纲解读1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．2011高考导航考纲解读3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.2011高考导航命题探究1.集合是高中数学中的重要内容之一，也是数学知识的重要工具．本章内容在每年高考中必有考查，总体来说这部分题目有如下特点：(1)多以选择题、填空题形式出现，有时是解答题的一个步骤；(2)常以集合为载体与函数、不等式、解析几何等知识结合考查；(3)命题常注重Venn图、数轴，以考查数形结合思想．2011高考导航命题探究2．高考重点考查集合间的基本关系和集合的基本运算，如2009年高考安徽卷理第2题，陕西卷理第1题，山东卷理第1题等.1．集合的含义及表示(1)集合中元素的三个特性：、、．(2)集合中元素与集合的关系基础知识梳理确定性互异性无序性文字语言符号语言属于∉∈不属于(3)常见集合的符号表示基础知识梳理数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N＋QNZR(4)集合的表示法：、、Venn图法．列举法描述法基础知识梳理2．集合间的基本关系(1)一般地，对于两个集合A、B，如果，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作．(2)对于两个集合A、B，若且，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B(或B⊇A)A⊆BB⊆A(3)如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的，记作．(4)不含任何元素的集合叫做，记作，并规定：空集是任何集合的子集．基础知识梳理真子集AB(或BA)空集∅基础知识梳理集合{∅}是空集吗？∅、{0}、{∅}之间有何关系？【思考·提示】不是．∅是不含任何元素的集合，因此有∅{0}．若把∅当作元素，有∅∈{∅}，若把∅当作集合，有∅{∅}．3．集合的基本运算基础知识梳理集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U，则集合A的补集为图形表示A∪BA∩B∁UA基础知识梳理集合的并集集合的交集集合的补集意义性质A⊆A∪BBA∪BA∪B＝B⇔ABA∩BAA∩B⊆BA∩B＝A⇔AB∁U(A∩B)＝∁UA∪∁UB∁U(A∪B)＝∁UA∩∁UB{x|}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，}且x∉Ax∈A,或x∈B∁UA＝⊆⊆⊆⊆A．a∉PB．{a}∈PC．a⊆PD．{a}⊆P答案：D三基能力强化1．已知集合P＝{x|x≤2＋3，x∈R}，a＝2＋5，则下列关系中正确的是()2．(教材习题改编)设全集为R，A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x1}，则(∁RA)∩(∁RB)等于()A．{x|x－2}B．{x|x2}C．{x|x1}D．{x|－2≤x1}答案：B三基能力强化3．(2009年高考海南卷改编)已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∪B等于()A．{3,9}B．{3,6}C．{0,1,3,5,6,7,9,12}D．{0,1,3,3,5,6,7,9,12}答案：C三基能力强化4．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.答案：25．集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则a＝________.三基能力强化答案：13，0或－12课堂互动讲练考点一集合的基本概念掌握集合的概念的关键是把握集合中元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，这一点在解题过程中最易被忽视，因此要针对结果加以检验，以确保结果的正确性．课堂互动讲练例1有三个实数构成的集合，既可以表示为{a，ba，1}，也可表示为{a2，a＋b,0}，求a2010＋b2010的值．课堂互动讲练【思路点拨】根据集合中元素的确定性可知两集合的元素是相同的，这样需列方程组分类讨论，复杂又繁琐．若能发现0这个特殊元素和ba中的a不为0这一隐含信息，可快速求出a，b的值．于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.当a＝1时不满足集合中元素的互异性，舍去．因而a＝－1，∴a2010＋b2010＝(－1)2010＝1.课堂互动讲练【解】由已知得ba＝0及a≠0，所以b＝0.【失误点评】求得a的值，对是否满足条件不作检验易导致错误的结果．课堂互动讲练跟踪训练1．若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，求b－a的值．解：由{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，可得a＝0(舍去)或a＋b＝0.∴a＝－b，∴ba＝－1，∴b＝1，a＝－1.∴b－a＝1－(－1)＝2.解决集合与集合之间的关系问题，常用的方法有：特征分析法，元素分析法，图示法，其中图示法就是利用Venn图或数轴或平面图形把两个集合表示出来，再判断它们之间的关系．一般地，元素分析法和图示法能使集合具体化、形象化，从而降低思维难度，简化解题过程．课堂互动讲练考点二集合与集合间的基本关系课堂互动讲练例2(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若N⊆M，求实数a的取值范围；(3)M、N能否相等？若能，求出a的值；若不能，说明理由．已知集合M＝{x|0ax＋1≤5}，集合N＝{x|－12x≤2}．【思路点拨】根据集合间的基本关系，构造关于a的不等式，要注意讨论a的取值．课堂互动讲练【解】(1)由0ax＋1≤5得－1ax≤4.当a＝0时，M＝R，不满足M⊆N；当a0时，M＝{x|－1ax≤4a}；课堂互动讲练若M⊆N，则－1a≥－124a≤2，解得a≥2.当a0时，M＝{x|4a≤x－1a}，若M⊆N，则4a－12－1a≤2，解得a－8.综上，若M⊆N，则实数a的取值范围为{a|a－8或a≥2}．(2)由(1)知，当a＝0时，M＝R，满足N⊆M；课堂互动讲练当a0时，若N⊆M，则－12≥－1a2≤4a，解得0a≤2.课堂互动讲练当a0时，若N⊆M，则4a≤－12－1a2，解得－12a0.综上，满足N⊆M的a的取值范围为{a|－12a≤2}．课堂互动讲练(3)若M＝N，由(1)知a≠0.当a0时，由－1a＝－124a＝2，解得a＝2，即a＝2时满足M＝N.当a0时，由4a＝－12－1a＝2，无解．综上，若M＝N，a的值为2.【名师点评】利用集合的关系考查不等式、函数的性质是高考中常见的一种题型，在解决不等式表示数集的问题时常要用到韦恩图和数轴，韦恩图适用于有限集，数轴适用于实数集，但是要注意的问题是不等式边界的等号的取值．课堂互动讲练2．若将例2中的集合M改为M＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，第(1)，(2)题如何求解？答案：(1){a|a2}(2)不存在课堂互动讲练互动探究在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图像等工具，并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观、简洁．课堂互动讲练考点三集合的运算课堂互动讲练例3(2009年高考安徽卷)若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)0}，B＝{x∈N＋|x≤5}，则A∩B是()A．{1,2,3}B．{1,2}C．{4,5}D．{1,2,3,4,5}【思路点拨】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，根据集合B的特点把集合B中的元素列举出来，求其公共元素即可．课堂互动讲练【答案】B课堂互动讲练【解析】依题意A＝{x|－12x3}，B＝{1,2,3,4,5}，∴A∩B＝{1,2}，故选B.课堂互动讲练【思维升华】解决此类问题的关键是将集合A＝{x|－12x3}中的整数点找出来，再利用韦恩图或者数轴解决．可以直观地看出A∩B＝{1,2}．∴A＝{x|－4x2}．又x2＋4x－50⇔(x＋5)(x－1)0，∴B＝{x|x－5或x1}，∴A∩B＝{x|1x2}．课堂互动讲练跟踪训练3．已知集合A＝{x|2x＋2x－21}，B＝{x|x2＋4x－50}，求A∩B.解：∵2x＋2x－21⇔(x＋4)(x－2)0，与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，是近几年高考的热点问题．在新给出的运算法则的前提下，将题目中的条件转化成符合新的运算法则的形式，是解答此类问题的关键．课堂互动讲练考点四与集合有关的新概念问题课堂互动讲练例4(满分展示)(本题满分12分)设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合M∩N的“长度”的最小值．课堂互动讲练【思路点拨】首先要明确集合“长度”的含义，而集合M与N的“长度”分别为34和13，要想M∩N的“长度”最小，只要两集合重复部分最少就行了．【解】易知M、N一定不为∅，由已知可得课堂互动讲练m≥0m＋34≤1，即0≤m≤14；2分n－13≥0n≤1，即13≤n≤1.4分取字母m的最小值0，字母n的最大值1，课堂互动讲练可得M＝[0，34]，N＝[23，1]8分∴M∩N＝[0，34]∩[23，1]＝[23，34]10分此时集合M∩N的“长度”为34－23＝11212分【误区警示】对M∩N的“长度”规定理解不透，可能导致求解此题没有方向．课堂互动讲练4．(本题满分12分)对任意两个正整数m、n，定义某种运算(用⊗表示运算符号)：当m、n都是正偶数或都是正奇数时，m⊗n＝m＋n(如4⊗6＝4＋6＝10,3⊗7＝3＋7＝10等)；当m、n中有一个是正奇数，另一个为正偶数时，m⊗n＝mn(如3⊗4＝3×4＝12，4⊗3＝4×3＝12等)，在上述定义下，求集合M＝{(m，n)|m⊗n＝36，m，n∈N＋}中元素的个数．课堂互动讲练自我挑战解：(1)当m、n都是正偶数或都是正奇数时，m⊗n＝m＋n＝36，课堂互动讲练即此时有35个元素；6分∴m＝1，n＝35，或m＝2，n＝34，或…或m＝35，n＝1，4分课堂互动讲练(2)当m、n中有一个是正奇数，另一个是正偶数时，∵m⊗n＝mn＝36，∴m＝1，n＝36，或m＝36，n＝1，或m＝3，n＝12，即此时有6个元素.10分综上，可得M中共有6＋35＝41个元素.12分课堂互动讲练或m＝12，n＝3，或m＝4，n＝9，或m＝9，n＝4，1．用列举法写出的集合，本身隐含了元素互不相等的事实，要注意在解题中根据元素的互异性对一些值进行取舍，并且还要注意元素的无序性，而不能简单对应．2．在集合之间的关系中，∅是非常活跃的集合，容易疏漏，并且集合的子集情况多样，要注意分类讨论．规律方法总结3．用描述法表示集合，首先应清楚集合的类型和元素的性质，如集合{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．4．在进行集合的运算时要尽可能地借助韦恩图和数轴使抽象的问题直观化．一般地，集合元素离散时可用韦恩图表示，集合元素连续时可用数轴表示，用数轴表示时，注意端点值的取舍．规律方法总结5．对于某些问题，如果从正面求解较困难时，则采用“正难则反”的解题策略．具体地说，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合A，则集合A的补集即为所求．规律方法总结随堂即时巩固点击进入课时活页训练点击进入