第4章静定结构的位移计算

第4章静定结构的位移计算4.1应用虚力原理求刚体体系的位移4.2结构位移计算的一般公式4.3荷载作用下的位移计算4.4图乘法4.5温度作用时的位移计算4.6互等定理§4-1应用虚力原理求刚体体系的位移一、结构位移计算概述1.计算位移的目的：（1）结构的刚度验算；在工程上，吊车梁允许的挠度1/600跨度；高层建筑的最大位移1/1000高度。最大层间位移1/800层高。（2）为分析超静定结构打下基础。tAAAPAxAy2.产生位移的原因⑴荷载作用；⑵温度变化和材料胀缩；⑶支座沉降和制造误差。3.位移与变形由于上述三种因素均可使结构产生位移，但其内部不一定有变形。AAxAyA点线位移A点水平位移A点竖向位移A截面转角位移角位移线位移AAAPAxAycAVBV以上都是绝对位移c1t12tt以上都是相对位移二.虚功原理求位移----单位荷载法abABC1c?P=1ABCab1RF虚功方程设虚力状态abFbPaFRR1100111cFR1cab单位荷载其虚功正好等于拟求位移。§4-2结构位移计算的一般公式一、局部变形时静定结构的位移计算BAaamaaBAm1aaABMiiaMsin1虚功方程：01MmMm例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角，试求A点在i－i方向的位移Δｍ。例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移，试求A点在i－i方向的位移ΔQ。BAiiBAQQ1AQFsin1QF01QQFQQF例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移试求A点在ｉ－ｉ方向的位移ΔN。BABAiiNNBA1NFNF由平衡条件：cos1NF虚功方程：01NNFNNF当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：NQNQMFFMdsdddiiddsddsddRdsdsRdsddsddsd二、结构位移计算的一般公式iidsFFMdQN)(一根杆件各个微段变形引起的位移总和：dsFFMdQN)(如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：dsFFMQN)(若结构的支座还有位移，则总的位移为：kRKQNcFdsFFM)(kRKQNcFdsFFM)(适用范围与特点：2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。1）适于小变形，可用叠加原理。三、广义位移的计算求图a）结构A、B截面相对水平位移。ABAHBHa)qABΔAHΔBHκ,γ0,εb)AB1NQFFM,,1q求ΔφΔφ11单位荷载AB1/l1/l单位荷载ABlΔAVΔBV求AB+)/l=(ΔAVΔBVABABFP1AB求ΔAV-ΔBV1AB11求ΔAV+ΔBVΔAVΔBV(A，B截面竖向位移之和）(A，B截面相对竖向位移）原结构§4-3荷载作用下的位移计算研究对象：静定结构、线性弹性材料。重点在于解决荷载作用下应变的表达式。、、一、计算步骤（1）在荷载作用下建立的方程，可经由荷载内力应力应变过程推导应变表达式。QPNPPFFM,,（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知GAFkEAFEIMQPNPPk--为截面形状系数1.29101AA(3)荷载作用下的位移计算公式dsGAFFkdsEAFFdsEIMMQPQNPNPkRKQNcFdsFFM)(二、各类结构的位移计算公式（1）梁与刚架dsEIMMP（2）桁架EAlFFdsEAFFdsEAFFNPNNPNNPN（3）组合结构dsEAFFdsEIMMNPNPqQPFPM1PQiFiMxldsEIMMGAFkFEAFFPQQPNNP][例1：已知图示梁的E、G,求A点的竖向位移。解：构造虚设单位力状态.0)(,0)(FxFxNPN)()(,1)(xlqxFxFQPQ1Px2/)()(,)(2xlqxMlxxMPlhbqAdxEIxlqGAkxlql]2)()([03)(8242EIqlGAqkl)(5.2/,10/1/,5/6,12/,3钢砼GElhkbhIbhAGAqklEIqlQM2,8:24设24GAlEIkMQ1001MQ对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计.位移方向是如何确定的?求ΔDVPPP4m×3=12m3mABDC－8PP=1－4/30000000000)(3280434853553131EAPPPPEADV2P2PPm/NqP4qlP1111.51.54.53.0NPF10.50.5001.51.5NF2P2P例1、计算屋架顶点的竖向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGBEAlFFNPNCADDCDE材料杆件NPFNFlAEAlFFNPNEAlFFNPN钢筋砼钢CEAEEGccAEPl97.1ccAEPl81.3ssAEPl63.0ssAEPl13.1ssccCEAEAPl13.181.321111.51.54.53.0NPF10.50.5001.51.5NFABCDEFGP74.458.1l263.0P42.458.1l263.0cAcAccAEPl84.1P95.00l088.0cA75.00P50.10l278.0sA0P50.450.1l278.0sA3P00.350.1l222.0sA2ssAEPl50.0例:1)求A点水平位移所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位广义力在所求广义位移上做功.三.单位力状态的确定PAB2)求A截面转角3)求AB两点相对水平位移4)求AB两截面相对转角1P1P1P1PBA?AB(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。A?A(a)P=1P=1P=1ABCd?BC(c)dP1dP1试确定指定广义位移对应的单位广义力。AB?AB(e)P=1P=1C(f)C左右=？P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。P=1?A(g)A?AB(h)ABP=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。§4-4图乘法EIsMMPiPd刚架与梁的位移计算公式为：在杆件数量多、荷载复杂的情况下,用积分法计算位移不方便.下面介绍计算位移的图乘法.kidsEIMMkiCEIdxMMEI1PEIydxEIMM0wyEI01w×xtgEI01wBAkdxxMtgEI1BAkMdxxtgMEIi1是直线kidxEIMM直杆Mkdxxx0ωαMiMi=xtgαyxy0y0=x0tgα①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。④面积ω与竖标y0在杆的同侧，ωy0取正号，否则取负号。PEIydxEIMM0w⑤几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线ω=hl/3二次抛物线ω=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线ω=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点M图21EIqlqllEIB32241]21)8132[(1（）PM图281qlBAq1例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角B解:应用图乘法时的几个具体问题①如果两个图形都是直线图形，则y0可取自任一个图形；②如果直线图形是由几段直线组成的折线，则应分段图乘；③当同一杆件的各杆段EI不相等时，也应分段图乘；④如果图形复杂，需分解为简单图形。PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4MEIPaPaaaaPaEIaa24232222232213432a/2a/2PaaaEI343211Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853Pl65×llEIyC22210××w5Pl/6？？非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/3ω1ω2y1y2()bcadbdacl226dc323bl2dc332al2yydxMMki2211wwMiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）=111（1）32649＝labdch+bah232dchl()226bcadbdaclSb)非标准抛物线乘直线形P=111ly1y2y3M23ly3221yly12832323qllqlw42212321qllqlww8321232432414222EIqllqllqllqlEI()1332211MyyyEINF0NF↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPω1ω2ω2BFNP=0900193434832101222122423lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122××PNEAqlEAlqlEAlFNFN§4-5温度作用时的位移计算温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。图示刚架的外侧温度升高t1，内侧温度升高t2，且设温度沿截面高度方向线性分布。设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴温度与上、下边缘的温差为：0tt1212210ttthththt0t线膨胀系数htdshdsttdsd/]/)([/12t1t2t0hh1h2dsdθαt0dsαt1dsαt2dsdsMhtsFtNtd0上式中的正、负号：温度t0以升高为正，轴力以拉为正；若和使杆件向同一方向弯曲其乘积为正。MtdsMhtsFtNtd0例9-11求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。aa01010CP1P1－1aMFNthtFNMc0wwt10010t520100()a5haa315ah23102§4-6互等定理应用条件：1)应力与应变成正比；2)变形是微小的。即:线性小变形体系。P1P2①F1F2②FN1M1FQ1GAkFEIMEAFQN2022222GAkFEIMEAFQN1011111FN2M2FQ21.功的互等定理dsGAFQ1kFQ2EIMMEAFN1FN212FW1221dsGAFQ2kFQ1EIMMEAFN2FN121PW2112功的互等定理：在任一线性变形体系中，①状态的外力在②状态的位移上作的功W12等于②状态的外力在①状态的位移上作的功W21。即：W12=W21212121PP2.位移互等定理:12212P/122PP/2第II状态第I状态21121P