0附录1 截面的几何性质

§1静矩和形心§2极惯性矩、惯性矩和惯性积附录Ⅰ：截面的几何性质概述在实际工程中发现，同样的材料，同截面积，由于横截面的几何形状不同，构件的强度、刚度有明显不同，研究截面几何性质的目的就是解决如何用最少的材料，制造出能承担较大荷载的杆件的问题。如一张纸（或作业本），两端放在铅笔上，明显弯曲，更不能承载东西了。但把同一张纸折成波浪状（象石棉瓦状），这时纸的两端再搁在铅笔上，不仅不弯曲，再放上一支铅笔，也不弯曲。概述●截面的几何性质NFApTI这些与构件横截面的形状、尺寸有关的量统称为截面的几何性质——截面面积A、极惯性矩IP、静矩、惯性矩、惯性积。概述●意义截面设计P(a)矩形钢板弯曲PP(a)矩形钢板弯曲(b)槽形钢板弯曲§Ⅰ-1静矩和形心一、简单图形的静矩（面积矩、一次矩）OyzOyzdAAOyzdAzydA对y轴的微静矩:dA对z轴的微静矩:ydAdSzzdAdSy1、定义：和分别称为该截面对z轴和y轴的静矩：AydAAzdAAyAzzdASydAS§Ⅰ-1静矩和形心一、简单图形的静矩（面积矩、一次矩）2、性质：●静矩是对一定的轴而言的，不同截面对同一坐标轴的静矩不同，同一截面对不同的轴的静矩值也不同；●静矩值可正、可负，也可能为零；●静矩的单位为：m3、cm3、mm3。§Ⅰ-1静矩和形心一、简单图形的静矩（面积矩、一次矩）3、静矩和形心的关系AdAzzAdAyyACAC,理论力学已知平面图形形心坐标公式：可得静矩和形心坐标的关系：CAyAzzdASCAzAyydAS什么情况下截面对轴的静矩为零？结论：图形对过形心的轴的静矩为零。若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。zyAzydASCZhaaybdyhaaby22)2(habhCAybhadyydzzAyzdASbzhdz0bhz0222bbhCAzAzydASc22hhybdy2222hhby0例1求图形对y、z轴的静矩Sz=Ayc；Sy=Azc。可以作为公式使用。§Ⅰ-1静矩和形心二、简单图形的形心1、形心坐标公式：2、形心确定的规律：（a）图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。（b）图形有两个对称轴时，形心必在两对称轴的交点处。AydAASyAzcAzdAASzAyc§Ⅰ-1静矩和形心三、组合截面（由若干个基本图形组合而成）的静矩ciizizyASSciiyiyzASSizicASyiyicASzAyAciiAzAcii基本图形----指面积、形心位置已知的图形四、组合截面的形心截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩。例2试计算图示三角形截面对于与其底边重合的z轴的静矩。解：取平行于z轴的狭长条dA)()(yhhbybyyhhbAd)(d三角形对z轴的静矩为：6d)(d20bhyyyhhbAyShAzOzyb(y)ydyhb三角形形心的y坐标：3262hbhbhASyzc解：组合图形，用正负面积法解之.方法1用正面积法求解.将截面分为1，2两个矩形.例3试确定图示截面形心C的位置.取z轴和y轴分别与截面的左边和底边缘重合AAyAyAAyAyniiniii21221111AAzAzAz212211101012Ozy901y1z2z2y图(a)矩形1矩形2211200mm12010A5mm1y60mm1z22800mm8010A50mm280102ymm25z所以38mm23mm212211212211AAzAzAzAAyAyAy101012Ozy901y1z2z2y方法2用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积C1yz212211AAAyAyAAyyii221108090120)11080(5§Ⅰ-2极惯性矩、惯性矩和惯性积一、极惯性矩（截面二次极矩）定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面积dA对于坐标原点o的极惯性矩。yzdAzyo截面对坐标原点o的极惯性矩为：APdAI2简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。实心圆截面：3224202DdIDP空心圆截面：)();1(3244DdDIP§Ⅰ-2极惯性矩、惯性矩和惯性积二、惯性矩（截面二次轴矩）yzdAzyodA对z轴的惯性距:dA对y轴的惯性距:量纲：m4、mm4。,2AzdAyIAydAzI2dAydIz2dAzdIy2图形对z轴的惯性矩:图形对y轴的惯性矩:极惯性矩：惯性矩的取值恒为正值。ApdAI2AdAzy)(22AAdAzdAy22yzII§Ⅰ-2极惯性矩、惯性矩和惯性积三、惯性积定义:平面图形内，微面积dA与其两个坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为该图形对z、y轴的惯性积。;AzydAyzI惯性矩恒为正值；惯性积可正可负或为零。常用单位：44mmm或yzdAzyo(3)若Iyz=0，则坐标轴y与z轴称为截面的一对主惯性轴；Iy与Iz称为主惯性矩。(4)若Iyz=0，且y与z轴同时通过截面形心，则称其为截面的一对形心主惯性轴，对应的Iy与Iz称为截面的形心主惯性矩。§Ⅰ-2极惯性矩、惯性矩和惯性积三、惯性积(1)惯性矩、惯性积是对轴而言的，不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的数值是不同的；极惯性矩是对点（称为极点）而言的，同一截面对不同点的极惯性矩值也不同。(2)若截面有一根对称轴,则该截面对包括此对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。§Ⅰ-2极惯性矩、惯性矩和惯性积三、惯性积组合截面的惯性矩和惯性积：当截面由ｎ个简单图形组合而成时，截面对于某根轴的惯性矩或惯性积等于这些简单图形对于该轴的惯性矩或惯性积之和。即:n1iiyny1yy)(I)(I)(IIn1iiznz1zz)(I)(I)(IIn1iiyznyz1yzyz)(I)(I)(II§Ⅰ-2极惯性矩、惯性矩和惯性积四、惯性半径22yAzAIzdAIydAzzIrA截面对z轴的惯性半径yyIrA截面对y轴的惯性半径ArArzy22如以r表示某一截面对某轴的惯性半径，定义对于实心圆截面：对于圆环截面：Wp=D/2Ip扭转截面系数：dzy圆形dDzy圆环解：bhzyCydy例4求矩形截面对其对称轴y,z轴的惯性矩及抗弯截面系数.AyIAzd2ybAdd12dd32222bhybyAyIhhAz123hbIy6bhW2z6hbW2y抗弯截面系数：maxzzyIW同理：取微面积dA=dzdy，则：;0zyIzy解：因为截面对其圆心O的极惯性矩为例5求圆形截面对其对称轴的惯性矩.zy4P32πIIdI所以64πdIIzy4yzWdW323抗弯截面系数：maxzzyIWzyII解：因为截面对其圆心O的极惯性矩为例6求圆环截面对其对称轴的惯性矩.抗弯截面系数：maxzzyIWdDzy圆环yzIdDI)(6444zyIIzyPIIdDI)(3244yzWdDDW)(3244对于实心圆截面：对于圆环截面：zpI2IzpW2WzpI2IzpW2Wdzy圆形dDzy圆环=d/D小结一、静矩：;cAzyAdAyS;cAyzAdAzS性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；3224202DdIDP)1(3244DIPAPdAI;2二、极惯性矩：实心圆截面：空心圆截面：Wp=D316(1-4)=d/DWp=d316小结三、惯性矩：;2AzdAyI;2AydAzI矩形截面：;123bhIz;123hbIy;644DIIzy几何关系：ApdAI2AdAzy)(22AAdAzdAy22yzII圆形截面：6bhW2z6hbW2yyzWdW323yzIdDI)(6444yzWdDDW)(3244圆环截面：