5.4(1)一次函数的图像

若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k不为零）的形式,则称y是x的一次函数.其中x为自变量.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.1.什么叫一次函数?2、函数有哪几种表示方式？列表法、解析法、图象法。新浙教版数学八年级（上）第五章：5.4（2)一次函数图像1210012.5t(秒)S(米)下图是某次比赛中小杨与小黄所跑的路程s（米）和所用时间t（秒）的函数图像.观察图象,你能获取哪些信息?0小杨小黄你知道吗?根据图象回答下列问题：⑴此次比赛的距离？⑵两人中谁先到达终点⑶两人的平均速度各是多少？参照图象“小杨”为例，当t=3时s=25，这样把自变量t作为点的横坐标，把函数s作为点的纵坐标就得到点（3,25）当t=6时，s=50，就得（6,50)…，所有这些点就组成了这个函数的图象。像这样，把一个函数的自变量x与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。1210012.5t(秒)S(米)0小杨小黄365025探究一：函数图象的定义、画法及意义作一次函数y=2x的图象：Ｘ…-2-1012…Ｙ＝２ｘ…-4-20…(x，y)……注、分别以表中的x值作点的横坐标,对应的y值作点的纵坐标，得到一组点,写出这组点的坐标。2、画一个直角坐标系，并在直角坐标系中画出这组点。24（-1,-2）（0，0）（1，2）（2，4）（-2,-4）1、选择5对自变量与函数的对应值，完成下表探究二：函数图象的画法-5-4-3-2-1012345x54321-1-2-3-4-5yy=2x以上画函数图象的方法叫做描点法。步骤：(1)列表；（2）描点；（3）连线；探究二：函数图象画法x….-2-1012….y=2x+1….….-3-1135作一次函数y=2X+1的图象(-2,-3)(-1,-1)(0,1)(1,3)(2,5)以自变量x与对应的函数y的值作为点的横坐标和纵坐标，……在直角坐标系中描出对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象探究二：函数图象画法yx0123312-1-2-2-145-3-44-3657y=2X+11.满足函数解析式的点必在函数的图像上2.函数图像上的点必符合函数解析式我们把这条直线叫做一次函数y=2X+1的图象一次函数y=2X+1的图象也叫做直线y=2X+1探究二：函数图象的特征由此可见，一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0）可以用直角坐标系中的一条直线来表示,从而这条直线就叫做一次函数Y=kx+b的图象.所以，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也叫做直线y=kx+b探究二：函数图象的特征yx0y=kx+b8642-2-4-6-8-10-5510YXOY=2XY=2X+1-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1-1-2-3-4-5-612345612345678-7-81.请你再找出另外一些满足一次函数y=2x+1的数对出来,看一看以这些数对为坐标的点在不在所画的直线上?2.在你所画的直线上再取几个点,分别找出各点的横坐标和纵坐标,检验一下这些点的坐标是否满足关系式y=2x+1?探究二：一次函数图象的画法及特征1.下列各点中，哪些点在函数y=4x+1的图象上?哪些点不在函数y=4x+1的图象上?为什么？(2,9)(5,1)(-1,-3)(-0.5,-1)2.若函数y=kx+3的图象经过点(1,5),则k=23.若函数y=2x-3的图象经过点(1,a),(b,2)两点,则a=，b=；-12.54.点已知M(-3,4)在一次函数y=ax+1的图象上,则a的值是；-1巩固练习5、下列各点中，在直线y=2x－3上的是（）（A）（0，3）（B）（1，1）（C）（2，1）（D）（－1，5）C6、1）若点（a，3）在直线y=2x－5上，则a=___（2）若点（2，－3）在直线y=kx+7上，则k=______4-57、一次函数的图象过M（3，2），N（－1，－6）（1）求函数的解析式；（2）试判断点P（2a，4a－4）是否在函数的图象上，并说明理由；巩固练习思考：是不是一次函数的图象都要用以上的描点法呢？有没有更简单、更快速的画法呢？分析：因为一次函数的图象是一条直线，根据两点确定一条直线，只要画出图象上的两个点就可以画出函数的图象。探究二：一次函数图象的画法及特征解：对于函数y=3x，取x=0,得y=0，得到点（０，０）；取x=１,得y=３,得到点（１，３）对于函数y＝－3x+２，取x=0，得y=2，得到点（0，2）；取x=1,得y=－1,得到点（1，－1）过点（0，0）,（1，3）画直线，就得到了函数y=3x的图象。xy0123312-1-2-2-1y=3xy=－3x+2例1、在同一坐标系作出下列函数的图象，并求它们与坐标轴的交点坐标：y=3x,y=-3x+2过点(0,2),(1,-1)画直线，就得到了函数y=-3x+2的图象,探究二：一次函数图象的画法及特征两点法函数y=3x图象与坐标轴的交点是原点（0，0）32函数y＝－3x+２图象与x轴的交点是(,0),与y轴交点是（0，2）能否直接利用解析式求它们与坐标轴的交点坐标？xy0123312-1-2-2-1y=3xy=－3x+2当x=0时，y=？；当y=0时，x=？在函数y=3x中当x=0时，y=0；当y=0时，x=0∴与两坐标轴的交点坐标是（0，0）当x=0时，y=2；当y=0时，x=所以，与y轴的交点坐标是（0，2），与x轴的交点坐标是（，0）2323在函数y=-3x+2中探究三：一次函数图象的与坐标轴的交点一次函数y=kx+b（k，b都为常数，k≠0），当x=0时，y=b。函数图象与y轴的交点是（0，b）。当y=0时，x=-，函数图象与x轴的交点是（-，0）。kbkb正比例函数y=kx（k≠0）的图象必定经过原点（0，0）探究三：一次函数图象的与坐标轴的交点221)3(221)2(21)1(.+-=+==xyxyxy1、在同一坐标系里画出下列一次函数的图象，并标出它们与坐标轴的交点。（0≤x≤4）画函数图象时应注意：需考虑自变量的取值范围。做一做更优秀重要结论：2、直线y=kx+b和直线y=kx互相平行；1、直线y=kx+b与X轴交点坐标只须令y＝0求出X的值，得（X,0);直线y=kx+b与Y轴交点坐标只须令X＝0求出X的值，得（0,y).3、直线y=kx+b是由直线y=kx平移得到的；b＞0则向上平移，反之则向下平移.2、函数图象的概念包含两个方面的内容：（1）满足函数解析式的任意一对x、y的值描出的点一定在这个函数的图象上.（2）在函数图象上的点A（x，y）中的x、y一定满足函数的解析式.1、函数图象的概念：把一个函数的自变量x与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.3、作函数图象的一般步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.描点法课堂小结※画一次函数图象的方法可用两点法:一般取满足函数解析式的较方便的两个点，再连成直线即可。6、函数的代数表达式与函数图象是紧密联系着的，“数”用“形”表示，由“形”想到“数”，这是我们数学学习中一个很重要的思想方法——数形结合。※一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线所以一次函数y=kx+b的图象也叫做直线y=kx+b.4、一次函数的图象特征和画法:5、画函数图象时还应特别注意：需考虑自变量的取值范围。1.一次函数y=x-1的图象是（）xyo1Axyo1Bxyo1Cxyo1DC练一练更聪明2.如图,直线l经过点A(3,2),B(1,-2),问点C(1,2)在直线l上吗?yox11-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5-622334455A(3,2)B(1,-2)l练一练更聪明1.下列各点中，哪点在函数y=4x+1的图象上()A(2,9)B(5,1)C(-1,-3)D(-0.5,1)2.若函数y=2x-4的图象经过点(1,a),(b,2)两点,则a=b=3.点已知M(-3,4)在一次函数y=ax+1的图象上,则a的值是4.已知：直线y=2X和直线y=kx+5互相平行，则k=_______。你会吗？6.已知某一次函数的图象经过(3,4),(-2,0)两点,(1)求函数的解析式;(2)试判断点p(2a,4a-3)是否在函数图象上，并说明理由．7.已知直线y=-2x+4,它与x轴的交点为A,与y轴的交点为B.(1)求A,B两点的坐标；(2)求∆AOB的面积.(O为坐标原点)5.直线y=3x+5是由直线y=3x-1向_______平移_______单位得到的。1.函数y=2x-4（x≥0）的图象是一条什么？2.函数y=2x-4(0≤x≤4)的图象又是一条什么？3.函数y=2x-4(0＜x＜4)的图象又是什么呢？探究提高1、已知直角坐标系中三点A（1，1），B（-1，3），C（3，-1）。这三点在同一直线上吗？请说明理由。解：设直线AB所对的一次函数为y=kx+b，当x=1时，y=1；当x=-1时，y=3代入得：1=k+b3=-k+b，解得：k=-1，b=2所以函数解析式为y=-x+2。当x=3时，y=-x+2=-3+2=-1。所以C在直线AB上，即A，B，C三点在同一直线上。2、在同一条道路上，甲每时走3km，出发0.15时后，乙以每时4.5km的速度追甲。设乙行走的时间为t时。（1）写出甲、乙两人所走的路程s与时间t的关系式；（2）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（3）求出两条直线的交点坐标，并说明它的实际意义。解：S甲=3（0.15+t），即S甲=0.45+3tS乙=4.5t00.20.40.60.81.0ts4321探究提高3、在如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P为BC边上一点（不与B、C重合）,设CP=x，△APB的面积为s。（1）求s关于x的函数解析式及自变量x的取值范围。（2）画出函数的图象。ABCP4、正方形ABCD的边长为2，点P事AD边上一动点，设AP=x，设梯形PBCD的面积为S（1）写出S与x的函数关系式（2）求出x的取值范围（3）画出函数图象5.已知直线y=-2x+4,它与x轴的交点为A,与y轴的交点为B.(1).求A,B两点的坐标.(2).求∆AOB的面积.(O为坐标原点)