2015-2016学年3.3.3《函数的最大(小)值与导数》课件

3.3.3函数的最大（小）值与导数2)极大值，极大值点．复习：4)极大值与极小值统称为极值.1)极小值,极小值点．3)极大值点,极小值点统称为极值点.baf(a)f(b)的极小值叫做点，的极小值叫做则把点右侧左侧附近的而且在点其它点的函数值都小，处附近比它在点处函数值在点函数)()()(,0)(,0)(,0)()()(xfafxfaxfxfaxafaxafaxxf的极大值叫做点，的极大值叫做则把点右侧左侧附近的而且在点其它点的函数值都大，处附近比它在点处函数值在点函数)()()(,0)(,0)(,0)()()(xfbfxfbxfxfbxbfbxbfbxxf（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f’(x)（3）求方程f’(x)=0的根,找到临界点（4）解不等式并列成表格（5）求出极值求函数的极值的方法与步骤左正右负极大值，左负右正极小值在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题.函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6),(bax］［bax,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值因此：该函数没有最值。f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函数在[a,b]上的最值呢？一般的如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6135(),(),()fxfxfx观察图象，我们发现，是函数y=f(x)的极小值，是函数y=f(x)的极大值.在区间[a,b]上函数y=f(x)的最小值是，最大值是。246(),(),()fxfxfx观察：右面是一个定义在区间[a,b]上的函数f(x)的图象．)(3xf)(af观察下边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象：发现图中___________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)xX2oaX3bx1yy=f(x)关键是:在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？结论：由上面两个函数的图象，以及函数极值中的例子，不难看出,只要把连续函数的所有极值连同区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最大值与最小值.例1.已知函数,求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值．31()443fxxx'240,3fxxx解：'0,22(),fxxx令解得：或舍列表x(0.2)2(2,3)y′-0+y递减递增43(0)4(3)1ff又，314()43.33fxxx函数-4在0，上的最大值为4，最小值为-314()43.33fxxx函数-4在0，上的极小值为-(2)将y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内的极值；注意:1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小值大.练一练：求下列函数在给定区间上的最大值与最小值。]3,2[,3)(.4]3,31[,126)(.3]4,4[,27)(.2]2,0[,26)(.13332xxxxfxxxxfxxxxfxxxxf'21233,3fxxx解：1.求出所有导数为0的点；2.计算；3.比较确定最值。3()61233fxxx例2:求函数在，上的最大值与最小值.'0,22fxxx令解得：或(2)22(2)10(3)15,(3)3ffff又，，3()6123310.fxxx函数在，上的最大值为22，最小值为求函数的最大值和最小值求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:.443xxy令,解得x=-1,0,1.0y当x变化时,的变化情况如下表:yy,x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’-0+0-0+y13↘4↗5↘4↗13从上表可知,最大值是13,最小值是4.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).例3.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37,(1)求a的值；（2）求f(x)在[-2,2]上的最大值．2:(1)()612,()0,20fxxxfxxx解令解得或(2)40,(0),(2)8fafafa又40373aa由已知得解得(2)(1)()[2,2]3.fx由知在上的最大值为已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，问是否存在实数a、b，使f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．:2,32,29abab答案或DAA1．下列说法正确的是()(A)函数的极大值就是函数的最大值(B)函数的极小值就是函数的最小值(C)函数的最值一定是极值(D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值.2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则()fx()(A)等于0(B)大于0(C)小于0(D)以上都有可能3.函数y=432111432xxx,在［－1,1］上的最小值为()(A)0(B)－2(C)－1(D)1213必做题:4.函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值为（)(A)-4(B)0(C)16(D)20C325.()3,(1)3(),()1,5;(2)(),fxxaxxaRxfxfxxfxRa已知函数若是函数的极值点求在上的最大值和最小值若函数是上的单调函数求实数的取值范围maxmin:(1)5,()(5)19,()(1)1(2)[3,3]afxffxf答案1.函数y=x³+3x²－9x在[－4,4]上的最大值为,最小值为.分析:(1)由f´(x)=3x²+6x－9=0,(2)区间[－4,4]端点处的函数值为f(－4)=20,f(4)=76得x1=－3，x2=1函数值为f(－3)=27,f(1)=－576-5当x变化时，y′、y的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y′+0-0+0y2027-576比较以上各函数值，可知函数在［－4,4］上的最大值为f(4)=76，最小值为f(1)=－5选做题:322.()2622371a2()22fxxxafx已知函数在，上有最小值求实数的值；求在，上的最大值。反思：本题属于逆向探究题型其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。21()612fxxx解:(）()002fxxx令解得或(240,fa又）40373aa由已知得解得(2)(1)()2,2fx由知在的最大值为3.(0),fa(2)8fa3.求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值.故函数f(x)在区间[1，5]内的极小值为3，最大值为11，最小值为2解法二:f’(x)=2x-4令f’(x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112解法一:将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理