复数代数形式的四则运算

3.2复数代数形式的四则运算，其中a叫做复数的、b叫做复数的.全体复数集记为.1.对虚数单位i的规定①i2=-1;②i可以与实数一起进行四则运算,并且加、乘法运算律不变.2.我们把形如a+bi(其中)的数a、bR称为复数,记作：z=a+biz实部z虚部C4.复数a+bi0000)0()0(bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数)00()00()0()0(bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数3.由于i2==-1，知i为-1的一个、-1的另一个;一般地，a(a0)的平方根为、(-i)2平方根平方根为-iaia-a(a0)的平方根为显然,实数集R是复数集C的真子集,即RC.5.两个复数相等设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则z1=z2,dbca即实部等于实部,虚部等于虚部.特别地，a+bi=0.a=b=0注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.即:若z1z2z1,z2∈R且z1z2.复数的四则运算复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i21结合到实际运算过程中去。1、复数的加法与减法idbcadicbia即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).注:⑴复数的减法是加法的逆运算；⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.已知两复数z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d是实数）即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i例.计算)43()2()65(iii解:iiiii11)416()325()43()2()65(xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z1+z2=OZ1+OZ2=OZ符合向量加法的平行四边形法则.口诀：起点相同，对角为和。1.复数加法运算的几何意义?xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法口诀：共起点，连终点，指向被减2.复数减法运算的几何意义?|z1-z2|表示什么?表示复平面上两点Z1,Z2的距离(1)|z－(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.点A到点(1,2)的距离点A到点(－1,－2)的距离(3)|z－1|(4)|z+2i|点A到点(1,0)的距离点A到点(0,－2)的距离1、|z1|=|z2|平行四边形OABC是2、|z1+z2|=|z1-z2|平行四边形OABC是3、|z1|=|z2|，|z1+z2|=|z1-z2|平行四边形OABC是z1z2z1+z2oz2-z1ABC菱形矩形正方形3、复数加减法的几何意义应用2、复数的乘法法则：设，是任意两个复数，那么它们的积biaz1dicz2任何，Czzz321,,交换律1221zzzz结合律)()(321321zzzzzz分配律3121321)(zzzzzzzibcadbdacdicbia)()(3、复数的乘方：对任何及，有Czzz21,,Nnm,nmnmzzzmnnmzz)(nnnzzzz2121)(12iiiii23134iiiiiii1特殊的有：iiiiiinnnn3424144,1,,1　　　一般地，如果，有NnnZ例.计算)2)(43)(21(iii解:iiiiii1520)2)(211()2)(43)(21(复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数.22.:()()(,).abiabiababR例证明概念：共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数。共轭虚数：虚部不为0的共轭复数。特别地，实数的共轭复数是实数本身。两个复数的和与积都是实数的充要条件是,这两个复数互为共轭复数.:a-biZ在复平面内,如果点Z表示复数z,点表示复数,那么点Z和关于实轴对称.ZZZ复平面内与一对共轭复数对应的点Z和关于实轴对称.ZxyoxyoZ:a+bib-b:a-biZZ:a+bib-b例已知复数是的共轭复数，求x的值．222(32)xxxxii204解：因为的共轭复数是，根据复数相等的定义，可得i204i204.2023,4222xxxx6323xxxx或或解得所以．3x4.复数的除法法则先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即分母实数化dicbiadicbia)()())(())((dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac(0).cdi2222acbdbcadicdcd例.计算)43()21(ii解:iiii4321)43()21()43)(43()43)(21(iiii2510543468322iiii5251先写成分式形式化简成代数形式就得结果.然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)练习.计算:(1+i)2=___;(1-i)2=___;____;11____;11iiii.______)11(2000ii2i-2ii-i11.复数加减法的运算法则2、复数的乘法法则3、复数的乘法运算律4、复数的除法法则5、复数的一个重要性质两个共轭复数z,z的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模的平方,即zz=|z|2=|z|2.1如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到n∈Z.2.11;11;1;2)1(2iiiiiiiiii6、一些常用的计算结果