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1五、平面向量1.向量的概念①向量既有大小又有方向的量。向量的大小即向量的模(长度),记作|AB|新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆即向量的大小,记作|a|。]向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。向量表示方法:(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如AB,注意起点在前,终点在后;(2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如a,b,c等;(3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底,则平面内的任一向量a可表示为,axiyjxy,称,xy为向量a的坐标,a=,xy叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。向量和数量的区别:向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。如已知A(1,2),B(4,2),则把向量AB按向量a=(-1,3)平移后得到的向量是_____(答:(3,0))②零向量[长度为0的向量,记为0,其方向是任意的,0与任意向量平行新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆零向量a=0|a|=0。由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注意与0的区别)③单位向量模为1个单位长度的向量,向量0a为单位向量|0a|=1。(与AB共线的单位向量是||ABAB);④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上,方向相同或相反的向量,称为平行向量,记作a∥b,规定零向量和任何向量平行。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!(因为有0);④三点ABC、、共线ABAC、共线;数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”2与几何中的“平行”是不一样的。⑤相等向量长度相等且方向相同的向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆相等向量经过平移后总可以重合,记为ba。大小相等,方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx。⑥相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是-a。如下列命题:(1)若ab,则ab。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。(3)若ABDC,则ABCD是平行四边形。(4)若ABCD是平行四边形,则ABDC。(5)若,abbc,则ac。(6)若//,//abbc,则//ac。其中正确的是_______(答:(4)(5))2.向量的运算(1)向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。设,ABaBCb,则a+b=ABBC=AC。[规定:(1)aaa00;(2)向量加法满足交换律与结合律;向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”ababa+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAA①用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。②三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:ABBCCDPQQRAR,3但这时必须“首尾相连”。(2)向量的减法①相反向量:与a长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量。记作a,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有:(i))(a=a;(ii)a+(a)=(a)+a=0;(iii)若a、b是互为相反向量,则a=b,b=a,a+b=0。②向量减法向量a加上b的相反向量叫做a与b的差,记作:)(baba新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆求两个向量差的运算,叫做向量的减法。③作图法:ba可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)。如(1)化简:①ABBCCD___;②ABADDC____;③()()ABCDACBD_____(答:①AD;②CB;③0);(2)若正方形ABCD的边长为1,,,ABaBCbACc,则||abc=_____(答:22);(3)实数与向量的积①实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下:(Ⅰ)aa;(Ⅱ)当0时,λa的方向与a的方向相同;当0时,λa的方向与a的方向相反;当0时,0a,方向是任意的。②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。3.两个向量共线定理:向量b与非零向量a共线有且只有一个实数,使得b=a。4.平面向量的基本定理如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有4一对实数21,使:2211eea其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。如(1)若(1,1),ab(1,1),(1,2)c,则c______(答:1322ab);(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是(答:B);A.12(0,0),(1,2)eeB.12(1,2),(5,7)eeC.12(3,5),(6,10)eeD.1213(2,3),(,)24ee(3)已知,ADBE分别是ABC的边,BCAC上的中线,且,ADaBEb,则BC可用向量,ab表示为_____(答:2433ab);(4)已知ABC中,点D在BC边上,且DBCD2,ACsABrCD,则sr的值是_0__5.平面向量的坐标表示(1)平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,ij作为基底新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a可表示成axiyj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫作a在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标。规定:①相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量;②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关系。(2)平面向量的坐标运算:①若1122,,,axybxy,则1212,abxxyy;②若2211,,,yxByxA,则2121,ABxxyy;③若a=(x,y),则a=(x,y);④若1122,,,axybxy,则1221//0abxyxy。6.向量的数量积(1)两个非零向量的夹角已知非零向量a与a,作OA=a,OB=b,则∠AOA=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角;5说明:①当θ=0时,a与b同向;②当θ=π时,a与b反向;③当θ=2时,a与b垂直,记a⊥b;④注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,范围0≤≤180。(2)数量积的概念已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与b的数量积(或内积)。规定00a;向量的投影:︱b︱cos=||aba∈R,称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称为射影;(3)数量积的几何意义:a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。(4)向量数量积的性质①向量的模与平方的关系:22||aaaa。②乘法公式成立2222abababab;2222abaabb222aabb;[来源:学科网ZXXK]③平面向量数量积的运算律交换律成立:abba;[来源:学。科。网]对实数的结合律成立:abababR;分配律成立:abcacbccab。[来源:学科网]提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以C6一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约);(2)向量的“乘法”不满足结合律,即cbacba)()(,为什么?④向量的夹角:cos=cos,ababab=222221212121yxyxyyxx。当且仅当两个非零向量a与b同方向时,θ=00,当且仅当a与b反方向时θ=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。[来源:学,科,网Z,X,X,K](5)两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量1122(,),(,)axybxy,则a·b=1212xxyy。(6)向量的模:222222||,||axyaaxy。如已知,ab均为单位向量,它们的夹角为60,那么|3|ab=_____(答:13);(7)两个向量垂直:如果a与b的夹角为900则称a与b垂直,记作a⊥b。两个非零向量垂直的充要条件:a⊥ba·b=O02121yyxx,如(1)已知(1,2),(3,)OAOBm,若OAOB,则m(答:32);(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,90B,则点B的坐标是________(答:(1,3)或(3,-1));(3)已知(,),nab向量nm,且nm,则m的坐标是________(答:(,)(,)baba或)(8)两个向量平行(共线)的充要条件://abab22()(||||)abab1212xyyx=0。如(1)若向量(,1),(4,)axbx,当x=_____时a与b共线且方向相同(答:2);(2)已知(1,1),(4,)abx,2uab,2vab,且//uv,则x=______(答:4);(3)设(,12),(4,5),(10,)PAkPBPCk,则k=_____时,A,B,C共线(答:-2或11)(9)平面内两点间的距离公式设),(yxa,则222||yxa或22||yxa。如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx,那么221221)()(||yyxxa(平面内两点间的距离公式
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