05-1第5章角动量角动量守恒定律

5角动量角动量守恒定律1.定义:Lrprmv称为一个质点对参考点O的质点角动量或质点动量矩mLrpOsinsinrmvrpL5.1质点的角动量角动量定理5.1.1质点的角动量例：自由下落质点的角动量vmroRrA任意时刻t，有221tgrtgmvmp（1）对A点的角动量0321ggmtprLARrr（2）对O点的角动量prRprLO)(tgmRpRgRRmgtLOm5.1.2.质点的角动量定理角动量的时间变化率dLddrdprpprdtdtdtdt()vmvrF力矩定义：对o点力矩MrF质点的角动量定理dLMdtrF大小Fr质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率sinMFrFrrMOAdLMdt21dtttM21dLLL12LL冲量矩力矩的时间累积效果形式质点角动量定理的积分于质点角动量的增量。质点受合力的冲量矩等5.1.3角动量守恒及应用0M外则0dLdt或L常矢量若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。若dLMdt质点的角动量定理oLrmvrmv质点做匀速直线运动中，对0点角动量是否守恒？例：pmvrLOArsinrmv例试利用角动量守恒定律:1)证明关于行星运动的开普勒定律:任一行星和太阳之间的联线,在相等的时间内扫过的面积相等,即掠面速度不变.(1)行星对太阳O的角动量的大小为sinΔΔlim0ΔtsmrLtsinmvrprL其中是径矢r与行星的动量p或速度v之间的夹角.s表示t时间内行星所走过的弧长,则有若用2sinsrsrr表示从O到速度矢量v的垂直距离,则有OAvBrSr用[证明]tmtmLtdd2ΔΔ2lim0Δ时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积,如图.其中是ttmtmLtdd2ΔΔ2lim0Δ其中d/dt称为掠面速度.由于万有引力是有心力,它对力心O的力矩总是等于零,所以角动量守恒,L=常量,行星作平面运动,而且常量mLt2dd这就证明了掠面速度不变,也就是开普勒第二定律.OA1vCDB2v1rS2r1r2r5.2质点系的角动量定理mimjm1iFjFjifijf0irjr质点系角动量1()niiiiLLrp第i个质点角动量的时间变化率()iiiijijdLrFfdt()iiiijiiijdLrFrfdtMM外内M外iiirFM内()iijiijrf0dLMdt外质点系的角动量定理0M外时质点系的角动量守恒iiLL常矢量1.质点系角动量1()niiiiiLLrmv'icirrr由得'icivvv以上两式先后代入前式'[()]ciiiiLrrmv'(')ciiiiciiirmvrmvv[']['']ciiiiciiiiiirmvrmvrmv['']cciiiirmvrmv0ccrir'irim['][']iiciiciirmvmrv因为这里'ccmrv'0cr0（质心相对质心的位矢为0）质点系角动量可以表示为LLL轨道自旋其中cccLrmvrp轨道('')ciiiiLLrmv自旋也叫固有角动量ccLrpL注意:1)若质点所受外力是有心力,即exif沿着或背着0exiifr0外M这时质点系的角动量守恒2)若质点系所受外力是重力,即gmfiexi则在质心参考系中,角动量总是守恒的3)角动量定理、角动量守恒式都是矢量式，它们对每个分量都成立ir的方向,相当于重力作用在质心上例光滑水平桌面上放着一质量为M的木块,木块与一原长为L0,劲度系数为k的轻弹簧相连,弹簧另一端固定于O点.当木块静止于A处时,弹簧保持原长,设一质量为m的子弹以初速v0水平射向M并嵌在木块中.当木块运动到B(OBOA)时,弹簧的长度为L.Mm0LLAOB0vBv求木块在B点的速度vB的大小和方向.解:(1)m和M相撞时,系统的动量守恒AvMmmv)(0(2)AB,只有弹力作功,机械能守恒2021221221)()()(LLkvMmvMmBA(3)AB,弹力对O点的力矩为零,对O点角动量守恒sin)()(0LvMmLvMmBA2/1202022)()(MmLLkvMmmvB212020200)()(arcsinmMLLkvmLvmLk行的周期。）求卫星在此轨道上运（的速率；）求卫星越过远地点时（。速度大小为。卫星越过近地点时的远地点高度为，移轨道的近地点高度为”上运行若干圈，此转大的椭圆型“转移轨道在一个达同步轨道之前，先要月发射的通信卫星在到年、我国例题21km/s2.10km7.35835km5.2051219881解：。，高度为，远地点速率为，卫星速率为设近地点高度为2211)1(hh由角动量守恒，得：)()(2211hRmhRmkm/s59.1)(2112hRhR，、心的距离分别为设近地点、远地点离地2211)2(hRrhRr221rra则椭圆长半轴为21rrb短半轴为abSπ椭圆面积为1121r面积速度大小为所以，周期为h6.102111rST？质心转动的角速度多大）碰撞后，整个系统绕（一瞬间又如何？动量大小？碰后质点对它们的质心的角）碰撞前一瞬间，三个（质心的速度多大？质点的质心在何处？此）碰撞前一瞬间，三个（结果粘在一起。的静止质点发生碰撞，点与第三个质量也是心转动，杆上的一个质的角速度绕质小为的质心静止，但杆以大一起，在自由空间二者的一根轻质硬杆连接的质点，由长度为、有两个质量都是例题3212mam解：设杆中心为坐标原点)1(0x一直线上，碰撞前瞬间三质点在同其质心为xmmama32226a处。即：离静止质点362aaa，即质心速度为零。所以他们的质心也静止质点也静止，质点质心静止，第三个因为碰撞前，杆两端的三个质点的总角动量为对于质心所在点，碰前)2(02631aamamLLiiamaam2221ma碰后的角动量由于角动量守恒，所以2'21maLL，则设角速度为')3(2632'2'1'aamamL2''263132aamama'232ma'22'3221mamaLL得：43'运动的总能量为、证明：行星在轨道上例题521rrGMmE和远日点的距离。的近日点分别为太阳到行星轨道，量；分别为太阳和行星的质，式中21rrmM解：运动中角动量守恒，即行星受有心力的作用，2221212121rMmGmrMmGm111prL222prL21LL在近日点和远日点，11pr22pr2211mrmr守恒，有：又行星在运动中机械能)(21211221rrrrGMmm故行星的总能量为121pk21rMmGmEEE21rrGMm太阳的瞄准距离。速率和它飞向星在进入太阳系之前的星的影响，试求这颗流。若不考虑其它行，这时它的速率为为近的距离系的一颗流星离太阳最、从太阳系外飞入太阳例题m/s105.7m100.56410解：，为设进入太阳系之前速度0机械能守恒，有：rMmGmm2202121可得，rMG220m/s108.14又由角动量守恒，有：rmdm0所以瞄准距离m101.2110rd5.3刚体的定轴转动1.平动:在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行ABA’B’B”A”刚体的平动任意质元运动都代表整体运动2.定轴转动刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）做圆周运动5.3.1刚体的平动和定轴转动用质心运动代表刚体的平动（质心运动定理）1)角位移θ:在t时间内刚体转动角度2)角速度:tdtdt0lim220limtddtdtdtθz刚体定轴转动角速度的方向按右手螺旋法则确定5.3.2刚体定轴转动的角量描述3)角加速度:vra切向分量tdvdarrdtdt法向分量22nvarrzvOP线量与角量关系rdSrdddS匀变速直线运动ddtddtdSvdttdvadt0vvatSvtat2012vvaS2202匀变速定轴转动t0tt20122202**5.4刚体定轴转动定律dLMdt外质点系的角动量定理Z轴分量zdLMdtz:im质元iF对O点的力矩ioiiMrFoiioiizrFrF（垂直z轴）?oiiiiizirFrFrF（垂直z轴）||iziiMrFsiniiirFizMMziiirFsin?zizLLiirFirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizrioiiiLrmvoiirviioiiLmrvsiniziLLiLizLsinioiimrviziiiLmrvsinioirrim质元到转轴的垂直距离iivr2()iimr刚体到转轴的转动惯量2ziiiJmr2()ziiiLmrzdLMdtz?zzdLdMJdtdtz对固定轴MJirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizrzzLJ刚体到转轴的角动量刚体定轴转动定律MJ轴外与牛顿第二定律对比Fma外刚体到转轴的转动惯量iiiJmr2转动惯量的物理意义:1.刚体转动惯性大小的量度2.转动惯量与刚体的质量有关3.J在质量一定的情况下与质量的分布有关4.J与转轴的位置有关对比刚体的角动量和质点的动量LJpmv与对应mJ转动惯量的计算2iiiJmr称为刚体对转轴的转动惯量对质量连续分布刚体2Jrdm线分布dmdx面分布dmds体分布dmdv是质量的线密度是质量的面密度是质量的体密度1)轴z1过棒的中心且垂直于棒2)轴z2过棒一端且垂直于棒求:上述两种情况下的转动惯量odxxZ1dmdx解:棒质量的线密度1222211)12llZJxdxml222012)3lzJxdxml21zzJJ所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义2l2lxdxdmdxoZ2lml例:一均匀细棒长质量为ml有关转动惯量计算的几个定理1）平行轴定理2zcJJmhzh式中:关于通过质心轴的转动惯量cJm是刚体质量,h是c到z的距离zJ是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量2）垂直轴定理zxyJJJiyim0ix对于薄板刚体,C薄板刚体对z轴的转动惯量zJ等于对x轴的转动惯量xJ与对y轴的转动惯量yJ之和yxzirCimOzirdmxOiix证明平行轴定理证：2cos2iiiiiirrdrdrddx22222ΔΔΔ2ΔziiiiiiiiiiiJmrmrmddmx222上式中第三项ΔiiCimxmx0CzJJmd23）转动惯量叠加,如图zABCJJJJ式中:是A球对z轴的转动惯量AJBJ是B棒对z轴的转动惯量cJ是C球对z轴的转动惯量4）回转半径任意刚体的回转半径GJRm式中:J