同济大学高等数学第七版1_1映射与函数

第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限第一章二、映射三、函数一、集合第一节机动目录上页下页返回结束映射与函数四、初等函数元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作.Ma(或Ma)..Ma机动目录上页下页返回结束表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合naaaA,,,21自然数集,,,2,1,0Nn(2)描述法：xMx所具有的特征例:整数集合ZxNx或Nx有理数集qpQ,N,Zqpp与q互质实数集合Rxx为有理数或无理数机动目录上页下页返回结束注:M为数集*M表示M中排除0的集;M表示M中排除0与负数的集.是B的子集,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算定义2.则称A.BA若且则称A与B相等,.BA例如,显然有下列关系:,,若Ax,Bx设有集合,,BA记作记作必有机动目录上页下页返回结束A定义3.给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集A机动目录上页下页返回结束或3.区间与领域是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,机动目录上页下页返回结束区间:称为半开区间,称为半开区间,以上是有限区间无限区间机动目录上页下页返回结束邻域:机动目录上页下页返回结束绝对值设a是一个实数，数轴上a所对应的点到原点的距离称为a的绝对值，记为：一般：机动目录上页下页返回结束数轴上点x到点a的距离为运算性质:机动目录上页下页返回结束逻辑量词全称量词任意AForAllForAll存在量词E存在ThereExistThereExist机动目录上页下页返回结束解释以下命题对任意实数x，都存在比x更大的实数y。任意两个实数之间，都存在着一个实数。机动目录上页下页返回结束二、映射1.映射的概念某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座机动目录上页下页返回结束引例定义4.设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作.:YXf元素y称为元素x在映射f下的像,记作).(xfy元素x称为元素y在映射f下的原像.XYf机动目录上页下页返回结束定义域：Df=XRf=值域：注意:1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.机动目录上页下页返回结束对应规则：f几种映射的类型满映射（满射）单映射（单射）一一映射（双射）机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束定义.则当由上述映射链可定义由D到Y的设有映射链记作复合映射,时,或机动目录上页下页返回结束注意:构成复合映射的条件不可少.复合映射三、函数1.函数的概念机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.反函数（教材14页）机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束InExcel:abs(x)机动目录上页下页返回结束例7：符号函数（Thesignfunction）当x0当x=0当x0InExcel:sign(x)奇函数机动目录上页下页返回结束例8：取整函数当InExcel:[x]=INT(x)3、函数的几种特性(1)有界性(2)单调性(3)奇偶性(4)周期性机动目录上页下页返回结束3、函数的几种特性定义：设函数(1)有界性恒有则称在[a,b]上为有界函数.否则称在[a,b]上为无界函数.有界函数必介于直线与之间。机动目录上页下页返回结束在D上有上(或下）界。如果存在常数M(N),有时还要用到有上界或有下界。使得对任意的总有则称函数函数在某个区间D上有界时函数既有上界、也有下界，反之也成立。但当函数在D上只有上界（或有下界）时，函数在D上无界。机动目录上页下页返回结束当时，则称当时为有界函数。当不存在正数使则称当时，为无界函数。说明：一个函数是否有界与所给的实数集密切相关。同一个函数在不同的实数集是否有界的结论可能不一样。例1设机动目录上页下页返回结束时，则称f(x)则称上是单调增加的;上是单调减少的.(2)单调性定义：设函数且在在单增和单减函数统称为单调函数。机动目录上页下页返回结束例1：证明的符号。证明函数且的单调性，关键是看看机动目录上页下页返回结束时，判别（或（或。或当例2这说明：有时一个函数在整个区间D不是单调的，而将D分成几个小区间，却在每个小区间上是单调的，这需要分别讨论。机动目录上页下页返回结束(3)奇偶性若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.定义：设函数在对称区间上有定义。且满足其图形对称于y轴。其图形对称于原点。机动目录上页下页返回结束(3)奇偶性说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有偶倍奇零机动目录上页下页返回结束则此函数在为偶函数。例2判断函数的奇偶性。解是偶函数是奇函数例1：机动目录上页下页返回结束是定义在上的任意函数，证明是偶函数，是奇函数。证明对于任意的是偶函数，是奇函数。例3设一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数。补充：两个奇（偶）函数之和仍是奇（偶）函数；之积是偶函数;机动目录上页下页返回结束(4)周期性且则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数机动目录上页下页返回结束求周期函数的周期的方法：由此等式中解出l.例：求函数的周期l.解：机动目录上页下页返回结束4、复合函数xuufy设定义：x的值全部落的复合函数。为则称xxfy][的定义域内，1),(Duufy1)(DD且则即：设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件1)(DD不可少.uf在机动目录上页下页返回结束两个以上函数也可构成复合函数.例如,,0yuu可定义复合函数:2x1lnvvu)2,(,22xxv或,2x机动目录上页下页返回结束例1：设21110xxxexfx求1.fx解：211)1(111011xxxexfx即：1020111xxxexfx机动目录上页下页返回结束1101lnxxxxf求f(x).解：lnux令100uufueuxexxfx001例2：已知机动目录上页下页返回结束uxe四.初等函数1、基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数2、初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,,2xyy0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.机动目录上页下页返回结束1、幂函数01kxky,00,x),0[x,21xy,21xy),0(x无论为何值，幂函数在),0(x内总是有定义。反比例函数：定义域为：)(是常数xy机动目录上页下页返回结束)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy幂函数的图形和性质1、图形都通过点（1，1）。2、0时，图形过原点，且在),0(内单调增加。3、0时，图形在),0(内单调减少。图像特点及性质：机动目录上页下页返回结束2、指数函数xy2xy21xy10此类函数的特点是：底数均为常数，指数是变量.x定义xay1,0aa称为指数函数，.,x用描点法在同一坐标系中引例三个函数的图形分别为:它的定义域是整个实数1,0x0yxy2xy10xy21),(10aaayx指数函数（3）)1(a曲线从左到右逐渐上升。)110(a曲线从左到右逐渐下降。但与x轴不相交.(4)xayxay)(1与的图形对称于y轴.0xy)1,0(1aayxxay)1(（1）图形在x轴的上方0y.,x（2）图形均过点1,0性质：110a(,)x机动目录上页下页返回结束3、对数函数的定义1,0x0yxy2xy10xy21)1,0(logaaxyaxay的反函数记为称为对数函数,.,0xxy21logxy2logxylgxy0,1指数函数xay与对数函数xyalog互为反函数。机动目录上页下页返回结束)0,1(对数函数的性质2、图形在y轴的右方0x1、图形均过点1,0.(4)xyalogxya1log与的图形对称于x轴.1a10a不与y轴相交。曲线从左到右逐渐上升。曲线从左到右逐渐下降。3、10x0y1x,0yxyalog10logaxya1a机动目录上页下页返回结束特别：自然对数函数1,0xeyxylnxey的反函数记为称为自然对数函数,.,0xx0yxylnxy0,1xeyxyln互为反函数。与机动目录上页下页返回结束例1：验证函数＋，在0lnxxxf是单调增加的。证：,0,21xx且21xx12xfxf)(ln)(ln1122xxxx)(ln1212xxxx012xfxf＋，在0lnxxxf是单调增加的。机动目录上页下页返回结束则此函数为奇函数判断函数)1(ln)(2xxxf的奇偶性.解]1[ln2xxxfxf01ln]1[2xx例2机动目录上页下页返回结束4、三角函数xysinxysin1、1sinx,x是有界函数；xxsinsin.2是奇函数，4、周期2T3、]2,2[x是单增函数；此为最小周期。图形关于原点对称；值域:[-1,1]（1）正弦函数的性质机动目录上页下页返回结束（2）余弦函数的性质xycos,xxycos1、1cosx是有界函数；xxcoscos.2是偶函数对称于y轴；4、周期2.T3、],0[x是单减函数；。值域:[-1,1]机动目录上页下页返回结束tanyx（3）正切函数,x2kx2,1,0kxy0222323机动目录上页下页返回结束sincosxxxytan正切函数的性质,x2,1,02kkx（1）在定义域中是无界函数；（2）是奇函数；（3）在2,2内是单调增函数；（4）周期为.Txy0222323xycot（4）余切函数,x2,1,0kkx性质：（1）在定义域（2）是奇函数；（3）在,0内是单调减函数；（4）周期为.l中是无界函数；xy02cossinxxxysecxysec（5）正割函数机动目录上页下页返回结束1cosxxycscxycsc（6）余割函数机动目录上页下页返回结束1sinx5、反三角函数三角函数的对应关系在其定义域内是单值的，但是，它们的反对应关系是多值的。根据反函数的定义，三角函数在其定义域内是没有反函数的。如果把三角函数的定义域划分成若干个区间，使在每个区间函数的反对应关系是单值的。那么，三角函数在这些区间内都分别存在