同济大学高等数学第六版第一册第三章第一节微分中值定理

微分中值定理及导数的应用第一节微分中值定理一、费马定理二、微分中值定理1.罗尔中值定理2.拉格朗日中值定理3.柯西中值定理中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式推广一、费马（Fermat)定理先定义极值若函数()fx在点0x的某邻域0()Ux内有定义,对于一切0()xUx,有0()()fxfx（0()()fxfx），则称函数()fx在点0x取得极大（小）值0()fx，称点0x为极大（小）值点极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值.xy1()fx2()fx3()fx4()fx()yfx1x2x3x4x0x0()Ux0x费马引理设函数f(x)在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有0()xUx))()(()()(00xfxfxfxf或那么0)(0xf证明不妨设时，（如果可类似的证明）.于是，对于，有0()xUx)()(0xfxf)()(0xfxf00()xxUx)()(00xfxxf从而当时，0x;0)()(00xxfxxfxyo0x当时0x0)()(lim)()(0)()(lim)()(0000000000xxfxxfxfxfxxfxxfxfxfxx;0)()(00xxfxxf根据函数f(x)在可导的条件和极限的保号性，便得到0x0)(0xf所以一般称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,或临界点).几何解释:.0率为显然有水平切线，其斜曲线在最高点和最低点xyo)(xfy12ba罗尔（Rolle）定理如果函数(1))(xf在闭区间],[ba上连续,(2)在开区间),(ba内可导,(3)且在区间端点的函数值相等，即)()(bfaf,那么在),(ba内至少有一点)(ba,使得函数)(xf在该点的导数等于零，即0)('f二、微分中值定理几何解释:ab12xyo)(xfy.,水平的在该点处的切线是点上至少有一在曲线弧CABC例如,32)(2xxxf).1)(3(xx,]3,1[上连续在,)3,1(上可导在,0)3()1(ff且))3,1(1(,1取.0)(f),1(2)(xxf证.)1(mM若,],[)(连续在baxf.mM和最小值必有最大值.)(Mxf则.0)(xf由此得),,(ba.0)(f都有.)2(mM若),()(bfaf.取得最值不可能同时在端点),(afM设.)(),(Mfba使内至少存在一点则在),()(fxf,0)()(fxf,0x若;0)()(xfxf则有,0x若;0)()(xfxf则有;0)()(lim)(0xfxffx;0)()(lim)(0xfxffx,)(存在f).()(ff.0)(f只有1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,x1yox1yo1x1yo关于罗尔定理的几点说明罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的.例0,10,sin)(xxxxf2）罗尔定理的条件是结论成立的充分条件,但不是必要条件.3)罗尔定理的结论中不是唯一的.关于罗尔定理的几点说明4)将罗尔定理的条件（2）换为[a,b]上可导,结论仍成立.设()px为多项式函数,证明:如果方程'()0px没有实根,则方程()0px至多有一个实根.证明:假设方程()0px有两个实根1x和2x12()xx,则12()()0pxpx.因为多项式函数()px在12,xx上连续,在12(,)xx内可导,根据罗尔定理,必然存在一点12,xx,使得'()0p,这样就与题设中'()0px没有实根相矛盾,所以方程()0px至多有一个实根.例1练习.10155的正实根有且仅有一个小于证明方程xx证,15)(5xxxf设,]1,0[)(连续在则xf.3)1(,1)0(ff且由介值定理.0)(),1,0(00xfx使即为方程的小于1的正实根.,),1,0(011xxx设另有.0)(1xf使,,)(10件之间满足罗尔定理的条在xxxf使得之间在至少存在一个),,(10xx.0)(f)1(5)(4xxf但))1,0((,0x矛盾,.为唯一实根1.设],,0[)(Cxf且在),0(内可导,证明至少存在一点,),0(使.cot)()(ff求证存在,)1,0(使2.设]1,0[可导，且,0)1(f在连续，)1,0()(xf3.若)(xf可导,试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点.1.设],,0[)(Cxf且在),0(内可导,证明至少存在一点,),0(使.cot)()(ff提示:由结论可知,只需证即0sin)(xxxf验证)(xF在],0[上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(求证存在,)1,0(使2.设]1,0[可导，且,0)1(f在连续，)1,0()(xf证：,)1,0(因此至少存在显然)(x在上满足罗尔定理条件,)(即设辅助函数使得)()(1ffnnn()()nxxfx00,13.若)(xf可导,试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点.提示:设,,0)()(2121xxxfxf欲证:,),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0])([xxxfe作辅助函数,)()(xfexFx验证)(xF在],[21xx上满足罗尔定理条件.拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f(x)(1)在闭区间],[ba上连续;(2)在开区间),(ba内可导,那么在),(ba内至少有一点)(ba，使等式))(()()('abfafbf成立.).()(:bfaf去掉了与罗尔定理相比条件中注意).()()(fabafbf结论亦可写成二、拉格朗日(Lagrange)中值定理ab12xxoy)(xfyABCDNM几何解释:.,ABCAB线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧证分析:).()(bfaf条件中与罗尔定理相差弦AB方程为).()()()(axabafbfafy,)(ABxf减去弦曲线.,两端点的函数值相等所得曲线ba作辅助函数)].()()()([)()(axabafbfafxfxF,)(满足罗尔定理的条件xF.0)(,),(Fba使得内至少存在一点则在0)()()(abafbff即).)(()()(abfafbf或注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值公式,),()(内可导在在设baxf).10()()()(000xxxfxfxxf则有),,(,00baxxx).10()(0xxxfy也可写成.的精确表达式增量y拉格朗日中值定理又称有限增量定理.微分中值定理拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：注：,,0)()(00很小时且处的导数在点若xxfxxfy.)(0xxf00xxxxdyy拉格朗日中值公式的几种表达形式))(()()()1abfafbfabafbff)()()()2)(之间与在ba)(之间与在ba)10())](([)()()3ababafafbf)10()()()()4xxxfxfxxf注：微分中值定理是联系函数与导数的桥梁。在利用导数性质讨论函数（增量）的性质时，常用此定理。证明:在区间I上任取不同的两点12,xx,并且设12xx,则()fx在以12,xx为端点的区间上满足拉格朗日中值定理,故必然存在一点12(,)xx,使得2121()()()()fxfxfxx.又因为()0f,所以12()()fxfx.由于12,xx是区间I上任意两点,()fx在I上是一个常数.推论:若函数在区间I上满足则在I上必为常数.例2).11(2arccosarcsinxxx证明证]1,1[,arccosarcsin)(xxxxf设)11(11)(22xxxf.0]1,1[,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又20,2.2C即.2arccosarcsinxx练习:),(x,2cotarcarctanxx又故所证等式在定义域上成立.证明不等式lnbabbabaa,其中0ab.证明:设()fxlnx,由于()fx在,ab上满足拉格朗日中值定理的条件,则必然存在一点,ab,使得'()()()()fbfafba.又()()lnbfbfaa,'1()f,所以有lnba=1(ba),因为ab,故有lnbabbabaa(0ab).例3练习.)1ln(1,0xxxxx时证明当证),1ln()(xxf设,],0[)(上满足拉氏定理的条件在xxf)0(),0)(()0()(xxffxf,11)(,0)0(xxff由上式得,1)1ln(xxx0又x111,11111x,11xxxx.)1ln(1xxxx即柯西（Cauchy）中值定理如果函数)(xf及)(xF(1)在闭区间],[ba上连续;(2)在开区间),(ba内可导;(3)且)(xF在),(ba内每一点处均不为零，那么),(ba内至少有一点)(ba,使等式)()()()()()(''FfaFbFafbf成立.三、柯西(Cauchy)中值定理几何解释:)(1F)(2Fxoy)()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.)),(),((ABfFCAB弦该点处的切线平行于在一点上至少有在曲线弧弦的斜率切线斜率证作辅助函数)].()([)()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx,0)()()()()()(FaFbFafbff即.)()()()()()(FfaFbFafbf,)(xxF当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf特别,)(满足罗尔定理的条件x.0)(,),(使得内至少存在一点则在ba思考:柯西定理的下述证法对吗?),(,))(()()(baabfafbf),(,))(()()(baabFaFbF两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.注：柯西中值定理将两个函数的增量比与它们的导数比联系起来。在利用两个函数的导数讨论这两个函数的比值或增量比时，常用到柯西中值定理。注意柯西中值定理中分子、分母的导数是在同一点处的导数！)].0()1([2)(),1,0(:,)1,0(,]1,0[)(fffxf使至少存在一点证明内可导在上连续在设函数例4证分析：结论可变形为2)(01)0()1(fff.)()(2xxxf,)(2xxg设,]1,0[)(),(条件上满足柯西中值定理的在则xgxf有内至少存在一点在,)1,0(,2)()0()1()0()1(fggff)].0()1([2)(fff