剪力图与弯矩图

第5章梁的剪力图与弯矩图基础篇之五材料力学工程中的梁与梁的力学模型描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系梁横截面上的内力——剪力和弯矩剪力图与弯矩图第5章剪力图与弯矩图结论与讨论应用力系简化方法确定横截面上的剪力和弯矩剪力方程和弯矩方程工程中的梁与梁的力学模型返回返回总目录第5章剪力图与弯矩图杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（bending）。主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。第5章剪力图与弯矩图梁的力学模型与工程中梁的模型工程中可以看作梁的杆件很多第5章剪力图与弯矩图梁的力学模型与工程中梁的模型第5章剪力图与弯矩图梁的力学模型与工程中梁的模型工程中可以看作梁的杆件很多第5章剪力图与弯矩图梁的力学模型与工程中梁的模型工程中可以看作梁的杆件很多第5章剪力图与弯矩图梁的力学模型与工程中梁的模型第5章剪力图与弯矩图架在空中的悬臂梁梁的力学模型与工程中梁的模型第5章剪力图与弯矩图架在空中的悬臂梁梁的力学模型与工程中梁的模型第5章剪力图与弯矩图ABFP梁的力学模型与工程中梁的模型第5章剪力图与弯矩图梁的力学模型（悬臂梁）固定端lAB自由端梁的力学模型与工程中梁的模型工程中可以看作梁的杆件很多第5章剪力图与弯矩图梁的力学模型与工程中梁的模型梁的力学模型（简支梁）简支梁ABl固定铰支座辊轴支座第5章剪力图与弯矩图梁的力学模型与工程中梁的模型工程中可以看作梁的杆件很多第5章剪力图与弯矩图梁的力学模型梁的力学模型与工程中梁的模型ABCD固定铰支座辊轴支座外伸端外伸端l1l3l2外伸梁（两端外伸）第5章剪力图与弯矩图梁的力学模型与工程中梁的模型工程中可以看作梁的杆件很多第5章剪力图与弯矩图梁的力学模型梁的力学模型与工程中梁的模型ABC固定铰支座辊轴支座外伸端l1l2外伸梁（一端外伸）第5章剪力图与弯矩图梁横截面上的内力——剪力和弯矩第5章剪力图与弯矩图FQFQFQFQ＋－第5章剪力图与弯矩图剪力和弯矩的正负号规定第5章剪力图与弯矩图剪力和弯矩的正负号规定MM＋++－－++－－－MMFP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)第5章剪力图与弯矩图梁横截面上的内力——剪力和弯矩总体平衡与局部平衡的概念FP2FP1M1q(x)FP4FP3FP5M2q(x)FQMM'F'Q第5章剪力图与弯矩图梁横截面上的内力——剪力和弯矩FP1M1FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)xxFQM00yFM＝，＝第5章剪力图与弯矩图梁横截面上的内力——剪力和弯矩描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法第5章剪力图与弯矩图描述内力变化规律有两种方法：1.数学方程——剪力方程与弯矩方程；2.图形——剪力图与弯矩图。两种描述方法都要：1.确定变化区间；2.遵循正负号规则。第5章剪力图与弯矩图描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化.杆件内力变化的一般规律FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)第5章剪力图与弯矩图描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法当梁上的外力（包括约束力）沿杆的轴线方向发生突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用，以及分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。第5章剪力图与弯矩图描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程或者同一图线描述。第5章剪力图与弯矩图描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)FP1M1xFQM00yFM＝，＝根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面（controlcross-section）。据此，下列截面均可为控制面：集中力作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面；均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。变化区间——控制面第5章剪力图与弯矩图描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法变化区间——控制面FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)第5章剪力图与弯矩图描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法应用力系简化方法确定梁的剪力和弯矩第5章剪力图与弯矩图应用力系简化方法确定梁的剪力和弯矩将力系简化方法用于确定控制面上的剪力和弯矩FPaaFPFPaFPaFPFPFPFPaFPaFP简化的直接结果简化的间接结果第5章剪力图与弯矩图第5章剪力图与弯矩图例题1悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl的作用。梁的全长为2l。试用力系简化方法确定指定截面上的剪力和弯矩。FPllABCMO=2FPl应用力系简化方法确定梁的剪力和弯矩第5章剪力图与弯矩图FPllABCMO=2FPlMAFA=FPllABCMO=2FPlFQ=FPM=-FPlllABCMO=2FPlFP应用力系简化方法确定梁的剪力和弯矩FPM=0FQ=FP第5章剪力图与弯矩图FPllABCMO=2FPlFQ=FPFPllABCMO=2FPlFPllABCMO=2FPlFA=FPMA=0M=0M=FPlFQ=FP应用力系简化方法确定梁的剪力和弯矩剪力方程与弯矩方程第5章剪力图与弯矩图一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称为简支梁(simplesupportedbeam)。梁上承受集度为q的均布载荷作用，梁的长度为l。试写出：该梁的剪力方程和弯矩方程。例题2第5章剪力图与弯矩图lBAq剪力方程与弯矩方程lBAq解：1．确定约束力RR2ABqlFF＝＝因为只有铅垂方向的外力，所以支座A的水平约束力等于零。又因为梁的结构及受力都是对称的，故支座A与支座B处铅垂方向的约束力相同。于是，根据平衡条件不难求得：FRBFRA第5章剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程Oyx解：2．确定控制面和分段因为梁上只作用有连续分布载荷(载荷集度没有突变)，没有集中力和集中力偶的作用，所以，从A到B梁的横截面上的剪力和弯矩可以分别用一个方程描述，因而无需分段建立剪力方程和弯矩方程。3．建立Oxy坐标系：以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系lBAqFRBFRA第5章剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程FQ(x)M(x)解：4．确定剪力方程和弯矩方程对于坐标为x的截面，将其左侧的均布载荷和约束力向右侧简化，得到该截面上的剪力方程和弯矩方程：第5章剪力图与弯矩图xFRAqFRBl－xqOyxlBAqFRBFRAQR2AqlFxFqxqx＝-＝-+20222qlqxMxxxl＝-+x剪力方程与弯矩方程载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系返回返回总目录第5章剪力图与弯矩图将FQ(x)对x求一次导数，将M(x)对x求一次和二次导数，得到OyxllBACqFRBFRAQ2qlFxqx＝-+222qlqxMxx＝-+QddFxqx＝Qdd2MxqlqxFx＝-＝22ddMqx＝第5章剪力图与弯矩图载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系FQMM+dMq(x)dxFP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)dxx考察微段的受力与平衡剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明第5章剪力图与弯矩图载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系CFQ+dFQΣFy=0:ΣMC=0:QFdqxQQdFF0MdMMQdFxdd2xqx0考察微段的受力与平衡第5章剪力图与弯矩图载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系FQFQ+dFQMM+dMq(x)dxC略去高阶项，得到此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力FQ、M的变化规律。qxFddQqxM22ddQddFxMQFdqxQQdFF0MdMMQdFxdd2xqx00第5章剪力图与弯矩图载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系FQFQ+dFQMM+dMq(x)dxC根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力FQ、M的变化规律。qxFddQqxM22ddQddFxM例如，如果两个相邻控制面之间没有外部载荷，则有Qd0dFqxQconst.=FCQd,dMFCMCxDx平行于x轴的直线斜直线第5章剪力图与弯矩图载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系FQxMxq=00ddQqxFQd=const.dMFx第5章剪力图与弯矩图载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系Qconst.=FCMCxDq=0FQxMx0ddQqxFQd=const.dMFx第5章剪力图与弯矩图载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系Qconst.=FCMCxD根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力FQ、M的变化规律。qxFddQqxM22ddQddFxM例如，如果两个相邻控制面之间作用有均匀分布载荷，则有Qdconst.,dFqxQFqxC2Qd1,d2MFqxCMqxCxDx斜直线抛物线第5章剪力图与弯矩图载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系q0FQxMxQd0dFqx22d0.dMqx第5章剪力图与弯矩图载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系QFqxC212MqxCxDq0FQxMxQd0dFqx22d0.dMqx第5章剪力图与弯矩图载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系QFqxC212MqxCxD剪力图与弯矩图返回返回总目录第5章剪力图与弯矩图作用在梁上的平面载荷如果不包含纵向力，这时梁的横截面上只有剪力FQ和弯矩M两种内力分量。表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图形，分别称为剪力图（diagramofshearingforces）和弯矩图（diagramofbendingmoment）。剪力图与弯矩图第5章剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图和扭矩图大体相似，但略有差异。主要步骤如下：根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。应用力系简化的方法确定控制面上的剪力和弯矩数值。建立FQ-x和M–x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。第5章剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图FA简支梁受力的大小和方向如图所示。例题41kN.m2kN1.5m1.5m1.5m试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。解：1．确定约束力00＝＝FAMM,求得A、B两处的约束力FRA＝0.89kN,FRF＝1.11kNFRAFRF根据力矩平衡方程第5章剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图解：2．确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面，即A、B、C、D、E、F各截面均为控制面。3．建立坐标系建立FQ-x和M-x坐标系。xFQ/kNOxM/kN.mOBCDEFA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFFRA第5章剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图5．根据微分关系连图线因为梁上无分布载荷作用，所以剪力FQ图形均为平行于x轴的直线。xFQ/kNOxM/kN.mO解：4．应用力系简化方法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FQ－x和M－x坐标系中。1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFBCDEFRA弯矩M图形均为斜直线。于是，顺序连接FQ－x和M－x坐标系中的a、b、c、d、e、f各点，便得到梁的剪力图与弯矩图。第5章剪力图与弯矩图剪力图