剪力图与弯矩图的画法

xyq(x)Pm弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系q=q(x)规定：q(x)向上为正。将x轴的坐标原点取在梁的左端。设梁上作用有任意分布荷载其集度Q(x)M(x)Q(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)假想地用坐标为x和x+dx的两横截面m-m和n-n从梁中取出dx一段。xyq(x)Pmxmmnndxmmnnq(x)Cx+dx截面处则分别为Q(x)+dQ(x),M(x)+dM(x)。由于dx很小，略去q(x)沿dx的变化m-m截面上内力为Q(x)，M(x)Y=0Q(x)-[Q(x)+dQ(x)]+q(x)dx=0得到Mc=0[M(x)+dM(x)]-M(x)-Q(x)dx-q(x)dxdx2=0写出平衡方程Q(x)M(x)Q(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C略去二阶无穷小量即得=q(x)dQ(x)dxdM(x)dx=Q(x)dM(x)22dx=q(x)=q(x)dxdQ(x)公式的几何意义剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。dM(x)22dx=q(x)dx=Q(x)dxdQ(x)=q(x)dM(x)Q(x)图为一向右下方倾斜的直线xQ(x)oq(x)、Q（x）图、M（x）图三者间的关系梁上有向下的均布荷载，即q(x)0梁段上无荷载作用，即q(x)=0剪力图为一条水平直线弯矩图为一斜直线xQ(x)oxoM(x)xM(x)odM(x)22dx=q(x)dx=Q(x)dxdQ(x)=q(x)dM(x)梁上最大弯矩可能发生在Q(x)=0的截面上或梁段边界的截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面。在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值。弯矩图的相应处形成尖角。在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化。dM(x)22dx=q(x)dx=Q(x)dxdQ(x)=q(x)dM(x)q0向下的均布荷载无荷载集中力PC集中力偶mC向下倾斜的直线或下凸的二次抛物线在Q=0的截面水平直线+一般斜直线或在C处有突变在C处有尖角或在剪力突变的截面在C处无变化C在C处有突变m在紧靠C的某一侧截面一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在截面的可能位置表一、在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征例题一简支梁受两个力P作用如图a所示。已知P=25.3KN，有关尺寸如图所示。试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图。解：求梁的支反力。由平衡方程mB=0和mA=0得KΝ.RA623KNRB27将梁分为AC，CD，DB三段。每一段均属无外力段。ABCD2001151265PPRARB剪力图每段梁的剪力图均为水平直线AC段：Q1=RA=23.6KNCD段：Q2=RA-P=-1.7KNDB段：Q3=-RB=-27KNKNQ27maxABCD2001151265PP123+1.72723.6RARB最大剪力发生在DB段中的任一横截面上ABCD2001151265PP123RARB弯矩图每段梁的弯矩图均为斜直线。且梁上无集中力偶。故只需计算A、C、D、B各点处横截面上的弯矩。0MAmKNRMAC724200mKNRMBD1131150MBmKNM724max+4.72单位：KN.m最大弯矩发生在C截面对图形进行校核在集中力作用的C，D两点剪力图发生突变，突变值P=25.3KN。而弯矩图有尖角。在AC段剪力为正值。在CD和DB段，剪力为负值。最大弯矩发生在剪力改变处，负号的C点截面处。说明剪力图和弯矩图是正确的。+1.72723.6ABCDPP123RARB+4.72例题一简支梁受均布荷载作用，其集度q=100KN/m,如图a所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。解：计算梁的支反力KNRRBA806110050将梁分为AC、CD、DB三段。AC和DB上无荷载，CD段有向下的均布荷载。EqABCD0.21.612剪力图KNRQAC80KNRQBD80+80KN80KNEqABCD0.21.61221DB段：水平直线最大剪力发生在CD和DB段的任一横截面上。CD段：向右下方的斜直线AC段：水平直线Q1=RA=80KNKNRQBB80左0QB右)KNQ,(max80EqABCD0.21.61221弯矩图AC段：0MAKN.m.RMAC1620CD段：mKNRMBD1620mKNqRMAE482012112)(+80KN80KN其极值点在Q=0的中点E处的横截面上。DB段：MB=0EqABCD0.21.61221+单位：KN.m0MAKN.m.RMAC1620mKNRMBD1620mKNqRMAE482012112)(MB=0全梁的最大弯矩梁跨中E点的横截面上。mKNM48max3m4m4m4mKNP21KNP22mKNm.10mKNq1ABcDERARB例作梁的内力图解：支座反力为KNRA7KNRB5将梁分为AC、CD、DB、BE四段剪力图AC：向下斜的直线（）KNRQAA7右KNqRQAC34左CD：向下斜的直线()KNPqRQAC141右KNRPQBD32DB：水平直线(—）Q=P2-RB=-3KNEB：水平直线(—）KNPQB22右3m4m4m4mKNP21KNP22mKNm.10mKNq1ABcDERARBKNQA7右KNQC3左KNQC1右KNQD3Q=-3KNKNQB2右7KN1KN++-3KN3KN2KNF点剪力为零,令其距A点为x=5m01PqxRQAxX=5mFX3m4m4m4mKNP21KNP22mKNm.10mKNq1ABcDERARB弯矩图0MA204242qRMAc16372mRPMBD左520.maxMMFDB：()6472RPMBD右632PMBBE：()0ME7KN1KN++-3KN3KN2KN=5mFX3m4m4m4mKNP21KNP22mKNm.10mKNq1ABcDERARBAC：()CD：()3m4m4m4mKNP21KNP22mKNm.10mKNq1ABcDERARB0MA20Mc16MD左520.maxMMF6MD右6MB0MEF+-20.5201666分布荷载集度，剪力和弯矩之间的积分关系)()(xqdxxdQbabadxxqxdQ)()(badxxqaQbQ)()()(baABdxxqQQ)(式中，QA，QB分别为在x=a,x=b处两各横截面A及B上的剪力。等号右边积分的几何意义是上述两横截面间分布荷载图的面积。若在x=a和x=b处两个横截面A，B间无集中力则)()(xQdxxdM若横截面A，B间无集中力偶作用则得baABdxxQMM)(式中，MA，MB分别为在x=a,x=b处两个横截面A及B上的弯矩。等号右边积分的几何意义是A，B两个横截面间剪力图的面积。例题计算下图中的梁C、E两横截面上的剪力和弯矩。EqABCD0.21.612caACdxxqQQ)(KNRQAA800ecCEdxxqQQ)(CEqQC020110080).(baABdxxqQQ)(baABdxxQMM)(在AC段中q=0，且QA=RA解：caACdxxQMM)(ACQMAmKN1620800.+80KN80KN(b)EqABCD0.21.612在AC段中Qc=80KN，剪力图为矩形，MA=0baABdxxqQQ)(baABdxxQMM)(ecCEdxxQMM)(CE.QMCC21mKN).(.48201802116+80KN80KN(b)EqABCD0.21.612baABdxxqQQ)(baABdxxQMM)(在CE段中，剪力图为三角形QC=80KN，MC=16KN.m例题用简易法作所示组合梁的剪力图和弯矩图。10.5113P=50KNm20KNqM=5KN.mAECDKB解：RARBmA已求得支座反力为RA=81KNRB=29KNmA=96.5KN.m将梁分为AE，EC，CD，DK，KB五段。10.5113P=50KNm20KNqM=5KN.mAECDKBRARBmA剪力图AE段：水平直线QA右=QE左=RA=81KNED段：水平直线QE右=RA-P=31KNDK段：向右下方倾斜的直线QK=-RB=-29KNKB段：水平直线QB左=-RB=-29KN+81KN31KN29KN(b)10.5113P=50KNm20KNqM=5KN.mAECDKBRARBmA+81KN31KN29KNx设距K截面为x的截面上剪力Q=0。即0qxRQBxmqRxB451.10.5113P=50KNm20KNqM=5KN.mAECDKBRARBmA弯矩图AE，EC，CD梁段均为向下倾斜的直线mKNmMAA596.右+81KN31KN29KNx50505181596...MC051505281596...MD31KN.mmKNRmMAAE5151.DK段：向上凸的二次抛物线mRMBK134KN.m5129在Q=0的截面上弯矩有极值m.RMB452maxmKNq5545122.KB段：向下倾斜的直线mKNmMB5左0MB右10.5113P=50KNm20KNqM=5KN.mAECDKBRARBmA+81KN31KN29KNxmKNMA596.右ME15.5KN.mMC0MD31KN.mMK34KN.mMmax55KN.m0MB右mKNMB5右弯矩图如图(c)所示。x+96KN.m15.5KN.m31KN.m55KN.m34KN.m10.5113P=50KNm20KNqM=5KN.mAECDKBRARBmA中间铰链传递剪力（铰链左，右两侧的剪力相等）；但不传递弯矩（铰链处弯矩必为零）。10.5113P=50KNm20KNqM=50KN.mAECDKBRARBmA+81KN31KN29KNx+96KN.m15.5KN.m31KN.m55KN.m34KN.m(c)x+abcd18KN2KN14KN3m3m6mP=20KN解：画荷载图AB段：没有荷载，在B处有集中力，P=20KN。因为)(xqdxdQKNQB18左KNQB2右所以P()CABD补充例题：已知简支梁的剪力图，作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。+abcd18KN2KN14KN3m3m6mP=20KN)(xqdxdQCABDq=2KNBC段：无荷载CD段：有均布荷载q()qdxxqdcCDQQ6)(KNq26214)()(+abcd18KN2KN14KN3m3m6md弯矩图)()(xQdxxdMAB段：向右上倾斜的直线baABdxxQMM)(mKN.543180abcBC段：向右下倾斜的直线cbBCdxxQMM)(mKN.)(483254CD段：向上凸的二次抛物线。该段内弯矩没有极值。0Md5448+