18静电场的高斯定理

静电场的高斯定理高斯定理的表述VseSdEVd10在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的一切电荷的代数和除以。这就是真空中的高斯定理。高斯定理中闭合曲面称为高斯面。数学表达式为：体分布的带电体思考如果没有库仑定律高斯定理是否成立？内SiseqSdE010静电场的高斯定理关于高斯定理的几点讨论以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释，不是高斯定理的证明高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者适用范围比后者更广泛。后者只适用于真空中的静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场，高斯定理是电磁理论的基本方程之一。高斯定理表明，通过闭合曲面的电通量只与闭合面内的自由电荷代数和有关，而与闭合曲面外的电荷无关。内SseqSdE010时，不能说S内只有负电荷0时，不能说S内只有正电荷=0时，不能说S内无电荷注意：这些都是S内电荷代数和的结果和表现。高斯定理说明内SseqSdE01高斯面可由我们任选。与S内电荷有关而与S外电荷无关，这并不是说E只与S内电荷有关而与S外电荷无关。实际上，E是由S内、外所有电荷产生的结果。说明了电场线的性质。高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。高斯定理从理论上阐明了电场与电荷的关系，在源电荷分布具有高对称性的条件下，提供了根据源电荷分布来计算场强的方法。关键看能否找到合适的闭合曲面（称为高斯面），使电场强度垂直这个面，且大小相等，或者面上一部分电场强度大小处处相等，且方向垂直于该面，另一部分上电场强度与该面平行。二、高斯定理的应用1．进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布。（1）球对称性：（一个形体对通过某一定点的任意轴都具有转动对称性（使一个形体绕某一固定轴转动一个角度，它又和原来一模一样此形体就具有球对称性））a.均匀带电的球面b.球体：电荷沿同一球面均匀分布，沿径向均匀分布或非均匀分布根据居里原理可知：它们所激发的电场强度也至少具有球对称性，即与带电体共心的同一球面上各点电场强度大小都相等，电场强度的方向分布也是球对称的，即都沿该点球面的径向。此时选高斯面选过所求场点和带电体共心的球面。（2）轴对称性+镜面对称（对垂直与该轴的任意平面）+沿轴向平移对称a.无限长均匀带电圆柱面和无限长直线b.无限长圆柱体：电荷沿同一无限长圆柱面均匀分布，沿径向均匀分布或非均匀分布。场强也具有上述对称性即1）与带电体共轴的同一无限长圆柱面上，各点的电场强度大小都相等。2）电场强度的方向处处与该点柱面垂直并呈辐射状。高斯面为过场点和带电体共轴的有限长圆柱面（3）镜面对称性（对带电体中心面和对垂直于带电体的任何平面）+沿平面平移对称a.无限大均匀带电薄板b.无限大厚平板，电荷沿与板中心面平行的同一平面均匀分布，沿与平面垂直的方面均匀与否都可。电场也具有上述对称性，即1）在与带电体平行，并关于带电体中心面镜面对称的任意一对无限大平面上的电场强度大小都相等。2）各点电场强度的方向处处与该点平面垂直，并关于带电体中心面镜面对称。选两底面与带电体平行，并关于带电体中心面镜面对称，而侧面与带电体垂直的闭合面为高斯面。2．根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应在此高斯面上，②穿过该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量与电场强度平行或垂直，平行时，电场强度的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外面；3．计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。均匀带电球体的电场。球半径为R，体电荷密度为。解:电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心球面且半径为r的高斯面例7-8求电荷呈球对称分布时所激发的电场分布思考分析解题的步骤电荷呈球对称分布时有两种情况R24drEdSESESSe通过高斯面的E通量•rR时，高斯面包围电荷qRr024qrE204rqErerqE204结论：均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷全部集中在球心处的点电荷产生的场强一样。P•rR时，高斯面内电荷334rq334Rq024qrESdEs30020434RqrrrqEreRqrE304RrPRRrr30RrrR20313E•均匀带电球体的电场分布EOrR03REr关系曲线2r电场分布也应有球对称性沿径向。作同心且半径为r的高斯面.•均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电q。P点在球面外rRSSedSESEdrerqE204024qEr高斯面包围电荷q，+R+++++++++++++++rq+R+++++++++++++++rq0EP点在球面内rR04d2rESESer0ER204Rq2r结论：均匀带电球面外任一点的场强，如同电荷全部集中在球心处的点电荷在该点产生的场强一样。如果球面和球体带的是负电荷结果如何?EσE例7-9电荷均匀分布在“无限大”平面上，求它所激发的电场强度。电场分布有面对称性，方向沿法向。解：作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为S，两底面到带电平面距离相同。σEESESEe圆柱形高斯面内电荷Sq通过圆柱形高斯面的E通量SeSdE123SSSSdESdESdE1S2S3SSSS21σESE由高斯定理得0/2SESre02E垂直平面指向考察点（若，则由考察点指向平面）。0均匀电场例7-10求电荷呈“无限长”圆柱形轴对称均匀分布时所激发的电场强度。作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。高为h,半径为r解：hr侧面SSEddEshr2E•当rR时，为什么?hr0r2EhhrE02P点的场强rerE02rh•当rR时，02qrhEhrRq22侧面SSEddEshr2E202RrEreRrE202均匀带电圆柱体内外的电场分布EEr关系曲线r0RR021r思考:均匀带电圆柱面内外的电场分布?高斯定理解题步骤：①场源电荷为均匀带电球面、均匀带电球体、同心的均匀带电导体球壳等，则电场的分布具有球对称性；②场源电荷为无限大均匀带电平板、薄平面等，则电场的分布具有面对称性；③场源电荷为无限长均匀带电直线、均匀带电直圆柱面、直圆柱体或同轴导体圆筒等，则电场的分布具有柱对称性。总结(1)分析电场的对称性根据题意画出示意图，分析电场的分布情况(最好画出电场线)，看是否具有某种特殊的对称性，这可从产生电场的场源电荷的分布看出。常见的情况有以下几种：①选取的高斯面必须通过所考查的场点。②应使高斯面上各点的场强大小相等，方向与该处面元的法线平行(这样则可将Ｅ提到积分号外，只对面积积分)；或者使高斯的部分面上各点场强大小相等，方向与的法线平行，另一部分面上各点场强为零或场强的方向与面元的法线垂直(即通过这部分的Ｅ通量为零)。(2)选取高斯面用高斯定理求场强时，选取恰当的高斯面是解题的关键。选取高斯面的原则：(3)应用高斯定理求解先计算通过所作高斯面的Ｅ通量和高斯面内所包围的电荷电量的代数和。然后根据高斯定理列方程，求解，最后代入数据得答案。