高数知识汇总之微分方程

第六章微分方程6.1微分方程的基本概念微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。微分方程的通解：如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。微分方程的特解：在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。初始条件：用于确定通解中的任意常数而得到特解的条件称为初始条件。积分曲线：微分方程的特解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。6.2一阶微分方程的求解方法6.2.1分离变量法可分离变量的微分方程：形如)()(ygxfdxdy的微分方程，称为可分离变量的微分方程。特点：等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有x的函数，另一个是只含有y的函数．解法：当0)(yg时，把)()(ygxfdxdy分离变量为)0)((,)()(ygdxxfygdy对上式两边积分，得通解为()()dyfxdxCgy（这里我们把积分常数C明确写出来，而把()dygy，dxxf)(分别理解为)(1yg和)(xf的一个确定的原函数。）6.2.2齐次方程和可化为齐次方程的一阶方程不考。6.2.3一阶线性微分方程一阶线性微分方程：如果一阶微分方程(,,)0Fxyy可以写为()()ypxyqx则称之为一阶线性微分方程，其中()px、()qx为连续函数．当()0qx时，此方程为()0dypxydx，称它为对应于非齐次线性方程的齐次线性微分方程；当()0qx时，称为非齐次线性微分方程。解法：用常数变易法可得其通解为：()()(())pxdxpxdxyeqxedxc（注：其中每个积分，不再加任意常数C。）6.4可降阶的二阶微分方程6.4.1不显含未知函数y的二阶方程：(,)yfxy解法：令()yppx，则dpydx，方程变为(,)dpfxpdx，解之得p,再积分得()ypxdx，即得通解。6.4.2不显含自变量x的二阶方程:y(,)fyy解法：令y=p=()py，则ydppdy，方程变为(,)dppfypdy，解之得p,再积分得通解。6.5二阶线性微分方程6.5.1二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程：形如()()()ypxyqxyfx的方程,称为二阶线性微分方程。若()0fx，称之为二阶齐次线性微分方程；若()0fx，称之为二阶非齐次线性微分方程。齐次线性方程解的叠加原理：如果函数1y,2y是齐次方程()()0ypxyqxy的两个解,则1122yCyCy也是方程()()0ypxyqxy的解,其中1C,2C均为任意常数。齐次线性方程的通解结构：如果函数1()yx,2()yx是齐次方程()()0ypxyqxy的两个线性无关解,则函数1122yCyCy(1C,2C为任意常数)是方程()()0ypxyqxy的通解。非齐次线性方程的通解结构：如果*y是方程()()()ypxyqxyfx的一个特解，1122YCyCy是方程()()()ypxyqxyfx的通解,则1122**yYyCyCyy是方程()()()ypxyqxyfx的通解。线性微分方程的解的叠加原理：若1y，2y分别是方程1()()()ypxyqxyfx，2()()()ypxyqxyfx的特解，则12yyy是方程12()()()()ypxyqxyfxfx的特解。6.5.2二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程：0qyypy，其中p，q是常数。特征方程与特征根：根据0qyypy，可得20rprq。只要r的值能使20rprq式成立。那么rxey就是0qyypy的解，称20rprq为0qyypy的特征方程，称20rprq的根21,rr为方程特征根。二阶常系数齐次线性微分方程的通解：6.5.3二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程：形如()ypyqyfx（其中p,q均为常数,()0fx）的方程,称为二阶常系数非齐次线性微分方程。二阶常系数非齐次线性微分方程的通解：特征方程20rprq的两个特征根21,rr微分方程0qyypy的通解irrrrr2.12121)sincos()(212121121xcxceyexccyececyxxrxrxr()ypyqyfx的通解应该为*yYy，Y为()ypyqyfx对应齐次线性方程：0qyypy的通解，y为()ypyqyfx的一个特解。二阶常系数非齐次线性微分方程的特解：xf的两种形式是：1.xf=()mpxxe,是常数。()mpx是x的一个m次多项式：()mpx=mmmmaxaxaxa1110。()ypyqyfx具有如下形式的特解：*ykx)(xQmxe的特解，其中)(xQm是与()mpx同次的多项式。k012，不是特征根，是单特征根，为重特征根2.xf=()cos()sinxlnxxxxePP，其中：.是常数。)().(xpxpnl分别是l次、n次多项式，其中有一个可为零。()ypyqyfx具有如下形式的特解：]sin)(cos)([)2()1(*xxxxRRexymmxk其中：)()1(xRm，)()2(xRm是m次多项式,m=max{n,l}k＝0,()1,()iiii或不是特征根或是特征根