2016年考研数学三真题及详细解析

2016年考研数学三真题及详细解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）设函数在内连续，其导数如图所示，则（）（A）函数有2个极值点，曲线有2个拐点（B）函数有2个极值点，曲线有3个拐点（C）函数有3个极值点，曲线有1个拐点（D）函数有3个极值点，曲线有2个拐点【答案】（B）【】【解析】【解析】由图像易知选B2、已知函数，则（A）（B）（C）（D）【答案】（D）【解析】，所以（3）设，其中，，则（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由积分区域的性质易知选B.（4）级数为，（K为常数）（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与K有关【答案】A【解析】由题目可得，因为，由正项级数的比较判别法得，该级数绝对收敛。（5）设是可逆矩阵，且与相似，则下列结论错误的是（）（A）与相似（B）与相似（C）与相似（D）与相似【答案】（C）【解析】此题是找错误的选项。由与相似可知，存在可逆矩阵使得，则此外，在（C）中，对于，若，则，而未必等于，故（C）符合题意。综上可知，（C）为正确选项。（6）设二次型的正负惯性指数分别为，则（）（A）（B）（C）（D）或【答案】（C）【解析】考虑特殊值法，当时，，其矩阵为，由此计算出特征值为，满足题目已知条件，故成立，因此（C）为正确选项。7、设为随机事件，若则下面正确的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】（A）【解析】根据条件得8、设随机变量独立，且，则为（A）6（B）8（C）14（D）15【答案】（C）【解析】因为独立，则二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)已知函数满足，则【答案】6【解析】因为所以(10)极限．【答案】【解析】(11)设函数可微，有方程确定，则．【答案】【解析】两边分别关于求导得，将代入得，（13）行列式____________.【答案】【解析】14、设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回的取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为4的概率为【答案】【解析】三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本题满分10分）求极限【解析】16、（本题满分10分）设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数，需求弹性，为单价（万元）(1)求需求函数的表达式(2)求万元时的边际收益，并说明其经济意义。【解析】（1）由弹性的计算公式得可知分离变量可知两边同时积分可得解得由最大需求量为1200可知，解得故（2）收益边际收益：已知经济学意义是需求量每提高1件，收益增加8000万元.（17）（本题满分10分）设函数求，并求的最小值。【解析】当时，当时，则由导数的定义可知，故由于是偶函数，所以只需求它在上的最小值。易知可知的最小值为。（18）（本题满分10分）设函数连续，且满足，求【解析】令，则代入方程可得两边同时求导可得由于连续，可知可导，从而也可导。故对上式两边再求导可得在(1)式两边令可得解此微分方程可得（19）（本题满分10分）求幂级数的收敛域和和函数。【解析】令两边同时求导得两边同时求导得两边积分可得由可知，两边再积分可知易知，的收敛半径为1，且当时级数收敛，可知幂级数的收敛域为[-1,1]因此，，[-1,1]（20）（本题满分11分）设矩阵，且方程组无解，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求方程组的通解【解析】（Ⅰ）由方程组无解，可知，故这里有，或。由于当时，，而当时，。综上，故符合题目。（Ⅱ）当时，，故，因此，方程组的通解为,其中为任意实数。（21）（本题满分11分）已知矩阵.（Ⅰ）求；（Ⅱ）设3阶矩阵，满足，记，将分别表示为的线性组合。【解析】（Ⅰ）利用相似对角化。由，可得的特征值为，故.当时，由，解出此时的属于特征值的特征向量为;当时，由，解出此时的属于特征值的特征向量为;当时，由，解出此时的属于特征值的特征向量为.设，由可得，，对于，利用初等变换，可求出，故（Ⅱ），由于，，故，因此，（22）（本题满分11分）设二维随机变量在区域上服从均匀分布，令（I）写出的概率密度；（II）问与是否相互独立？并说明理由；（III）求的分布函数.【答案】（I）（II）与不独立，因为；（III）的分布函数【解析】（1）区域D的面积，因为服从区域D上的均匀分布，所以（2）X与U不独立.因为所以,故X与U不独立。（3）又，所以（23）设总体的概率密度为，其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本，令。（1）求的概率密度（2）当为何值时，的数学期望为【解析】（1）根据题意，独立同分布，的分布函数为当时，；当时，；当时，，所以。（2），根据题意，，即