2015双基测试理科数学试题及答案

12015年双基测试数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221niiiniixynxybxnx，aybx．第I卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知全集0,1,2,3,4U,集合1,2,3A，0,2,4B,则()UCAB为（）（A）0,4（B）2,3,4（C）0,2,4（D）0,2,3,4（2）复数1ii的虚部为（）（A）12i（B）12i（C）12（D）12（3）命题“对任意xR,都有2ln2x”的否定为（）（A）对任意xR,都有2ln2x（B）不存在xR,都有2ln2x（C）存在0xR,使得2ln2x（D）存在0xR,使得2ln2x（4）已知,xy的取值如表所示：x234y645如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为13ˆˆ2ybx，则ˆb的值为()（A）12（B）12（C）110（D）1102(5)如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a的值为()（A）4（B）2（C）12（D）-1（6）六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如下图所示，则其左视图不可能为（）（A）（B）（C）（D）（7）已知函数()fx为奇函数,且当0x时,2()21fxx,则(1)f的值为（）（A）1（B）1（C）2（D）2（8）若两个非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是()（A）6（B）3（C）23（D）56（9）设变量,yx满足约束条件320,0,36xyxyy则2zxy的最小值为（）（A）7（B）6（C）1（D）2正视图俯视图3（10）函数()24sinfxxx,,22x的图象大致是()[答案]D（11)已知离心率52e的双曲线C:22221(0,0)xyabab右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为4，则a的值为()（A）22（B）3（C）4（D）5（12）已知xxxxfln)(，若zk，且)()2(xfxk对任意2x恒成立，则k的最大值为（）（A）3(B)4(C)5(D)6第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）（13）若sin13，则cos2。（14）5人随机站成一排，甲乙两人不相邻的概率是。(15)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆192522yx上，则sinAsinCsinB.16．如图，090ACB，DA平面ABC，AEDB交DB于E，AFDC交DC于F，且2ADAB，则三棱锥DAEF体积的最大值。DABCEF4三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)（17）(本小题满分12分)数列na满足1,1211aaaannn。（Ⅰ）证明：数列na1是等差数列；（Ⅱ）求数列na1的前n项和nS，并证明11......1121nnSSSn。（18）(本小题满分12分)某研究性学习小组，从某公路服务区内，在小型汽车中按进服务区顺序的先后，每隔5辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行车速调查，将车速度(km/h)分成六段：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]．统计后得到如图的频率分布直方图．(Ⅰ)研究性学习小组用到的抽样方法是．(Ⅱ)若从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆，求车速在[80,85)和[85,90)内都有车辆的概率．(Ⅲ)若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，求车速在[75,80)的车辆数的数学期望．（19）(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCDE中，底面ABCD为正方形，AE平面CDE，已知AEDE，F为线段DE的中点．（Ⅰ）求证：CD平面ADE；（Ⅱ）求二面角CBFE的平面角的余弦值.（20）（本小题满分12分）ACBDEF5已知过点（2，0）的直线1l交抛物线2:y2Cpx于,AB两点，直线2:2lx交x轴于点Q．（Ⅰ）设直线,QAQB的斜率分别为12,kk，求12kk的值；（Ⅱ）点P为抛物线C上异于,AB的任意一点，直线,PAPB交直线2l于,MN两点，2OMON，求抛物线C的方程．（21）（本小题满分12分）已知函数)0()(aexxfax.(Ⅰ)求函数)(xf的单调区间；（Ⅱ）求函数)(xf在]2,1[aa上的最大值；（III）若存在21,xx21xx，使得0)()(21xfxf，证明：aexx21.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．(22)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙Ol上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙Ol于点N．(Ⅰ)点E是AN上异于,AN的任意一点，PE交CN于点M，求证：,,,ADME四点共圆；(Ⅱ)求证：2PNPBPC．(23)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线22:14xCy，直线l：,23,xtyt（t为参数）.O1O2MDBACNPE6（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出直线l的极坐标方程.21和曲线C的参数方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，PA的最大值与最小值．(24)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,xy是两个不相等正实数．求证：222222()()9xyxyxyyxxy.201５年大连市高三双基测试数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题（1）A；（2）C；（3）D；（4）A；（5）D；（6）D；（7）B；（8）C；（9）A；（10）D；（11)C；（12）B．二.填空题（13）79（14）35；(15)54；16．26.三.解答题7（17）解：(I),121nnnaaannnaaa1211，化简得nnaa1211，即2111nnaa，故数列na1是以1为首项，2为公差的等差数列.············6分(Ⅱ)由(I)知nna121，所以()nnnSn21212.·········8分证法一：()nSSSnnn222121111111111212231()()()nnnnn11111111223111······················12分证法二：（用数学归纳法）当1n时，111S，1112n不等式成立．假设当nk时，不等式成立，即kkSSSk121111．则当1nk时，则()kkkSSSSkk21211111111，又()()()()()kkkkkkkkkkkkk222211111111101121122121，kkkSSSSk121111112，原不等式成立．········································································12分证法三：nSSSn22212111111112，又因为nn11，所以nnSSSn121111．······················································12分（18）解：（Ⅰ）系统抽样．8这40辆小型汽车车速众数的估计值为87.5，中位数的估计值为87.5.···2分（Ⅱ）车速在[80,90)的车辆共有(0.2＋0.3)×40＝20辆，速度在[80,85)，[85,90)内的车辆分别有8辆和12辆．记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，车速在[80,85)内的有2辆，在[85,90)内的有1辆为事件A，车速在[80,85)内的有1辆，在[85,90)内的有2辆为事件B，则P(A)＋P(B)＝C28C112C320＋C18C212C320＝8641140＝7295.··············8分(Ⅲ)车速在[70,80)的车辆共有6辆，车速在[70,75)和[75,80)的车辆分别有2辆和4辆，若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，设车速在[75,80)的车辆数为X，则X的可能取值为1、2、3.P(X＝1)＝C22×C14C36＝420＝15，P(X＝2)＝C12×C24C36＝1220＝35，P(X＝3)＝C02×C34C36＝420＝15，故分布列为X123P153515∴车速在[75,80)的车辆数的数学期望为E(X)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.···················12分（19）解：(Ⅰ)AE平面CDE，CD平面CDE，CDAE，ABCD为正方形，CDAD，xzyOACBDEF9,,AEADAADAE平面DAE，CD平面DAE(Ⅱ)DE平面DAE，CDDE··············4分以D为原点，以DE为x轴建立如图所示的坐标系，则(2,0,0)E，(1,0,0)F，(2,0,2)A，)0,0,0(D·············6分AE平面CDE，DE平面CDE，AEDE2AEDE，22ADABCD为正方形，22CD，(0,22,0)C由ABCD为正方形可得：(2,22,2)DBDADC，(2,22,2)B设平面BEF的法向量为1111(,,)nxyz(0,22,2)BE，(1,0,0)FE由1100nBEnFE11122200yzx，令11y，则12z1(0,1,2)n设平面BCF的法向量为2222(,,)nxyz，(2,0,2)BC，(1,22,0)CF由22222222002200xznBCxynCF，令21y，则222x，222z2(22,1,22)n·······················8分设二面角CBFE的平面角的大小为，则1012121212coscos(,)cos,||||nnnnnnnn1455151317二面角CBFE的平面角的余弦值为55151······