初中数学总复习提高测试题之九《四边形》

1《四边形》提高测试（一）选择题（每小题4分，共32分）1．若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是…………………（）（A）9（B）10（C）11（D）12【提示】为了便于计算，设每个内角都相等，那么每个内角是每个外角的5倍．【答案】D．2．已知菱形ABCD的两条对角线之和为l，面积为S，则它的边长为…………………（）（A）2421lS（B）221lS（C）Sl4212（D）Sl2421【提示】设两对角线长的一半为a与b，则S＝2ab，l＝2（a＋b），边长为22ba．利用a2＋b2＝(a＋b)2－2ab．【答案】C．3．如图，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝8，将矩形沿EF折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是……………………………………………………………………（）（A）7．5（B）6（C）10（D）5【提示】设AE＝x，则ED＝8－x，CE＝x，用勾股定理列出方程x2＝(8－x)2＋62，解出x＝425，而OA＝21AC＝5．【答案】A．4．已知：如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，并有下列结论：（1）BE＝DF；（2）AG＝GH＝HC；（3）EG＝21BG；（4）S△ABE＝3S△AGE．其中正确的结论有…………………………………………………………………（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个【提示】BG＝2FH＝2GE．【答案】D．5．如图，E为矩形ABCD的边CD上的一点，AB＝AE＝4，BC＝2，则∠BEC是（）（A）15°（B）30°（C）60°（D）75°【提示】作EF⊥AB于F点，则由AE＝2BC＝2EF，得知∠EAB＝30°．【答案】D．6．顺次连结四边形各边中点所得四边形是矩形，则原图形一定是………………（）（A）菱形（B）对角线相等的四边形（C）对角线垂直的四边形（D）对角线垂直且互相平分的四边形【答案】C．7．如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积2为………………………………………………………………………………………（）（A）98（B）196（C）280（D）284【提示】设小矩形的长为x，宽为y，则有yxyx526874∴x＝10，y＝4．xy＝40．【答案】C．8．如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有…………………………………………………………（）（A）0对（B）1对（C）2对（D）3对【提示】由S△BPE＝S△BPH，S△PDG＝S△PDF和S△ABD＝S△CBD可知有一边过P点的3对平行四边形面积相等．【答案】D．（二）填空题（每小题3分，共18分）9．一个多边形的一个内角的补角与其他内角的和恰为500°，那么这个多边形的边数是______．【提示】由于五边形内角和为540°＞500°，所以多边形的边数不可能超过5．显然它不可能是三角形．因此分四边形、五边形两种情况验证是否存在符合要求的图形．【答案】4或5．10．如图，P是□ABCD内的一点，ABCDAPBSS平行四边形三角形＝32，则ABCDCPDSS平行四边形三角形＝______．【提示】过P点分别作AB和BC的平行线，与□ABCD的边相交，找出4对全等三角形．由此可见，△ABP与△CDP的面积之和为□ABCD面积的一半．【答案】101．11．用任意两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形②矩形③菱形④正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形其中一定能够拼成的图形是_______（只填题号）．【答案】①②⑤．12．如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么在图形所在平面内，可以作为旋转中心的点的个数为______．3【提示】施转中心必须在公共边CD上．【答案】3．13．如图，梯形ABCD中，△ABP的面积为20平方厘米，△CDQ的面积为35平方厘米，则阴影四边形的面积等于______平方厘米．【提示】连结MN．S△MNP＝S△ABP，S△MNQ＝S△CDQ．【答案】55．14．如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转30°，至正方形AB′C′D′，则旋转前后正方形重叠部分的面积是________．【提示】设CD与B′C′的交点为M，则AM为两正方形的对称轴．又设MD＝x，则AM＝2x，用勾股定理列方程并解之即可．【答案】33．（三）计算题（每小题6分，共12分）15．如图，一个等腰梯形的两条对角线互相垂直，且中位线长为l，求这个等腰梯形的高．【提示】如下图，过B点作AC的平行线．【答案】过B作BG∥AC，交DC的延长线于G点．在梯形ABCD中，AB∥DC，∴四边形ABGC为平行四边形．∴CG＝AB，BG＝AC．∵EF为梯形中位线，∴DG＝DC＋AB＝2EF＝2l．∵AC⊥BD且AC＝BD．∴BG⊥BD且BG＝BD．∴△BDG为等腰直角三角形．∴高BH＝21DG＝l．16．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，试求AF的长和重叠部分△AEF的面积．4【提示】把AF取作△AEF的底，AF边上的高等于AB＝3．由折叠过程知，EF经过矩形的对称中心，FD＝BE，AE＝CE＝AF．由此可以在△ABE中使用勾股定理求AE，即求得AF的长．【答案】如图，连结AC，交EF于点O，由折叠过程可知，OA＝OC，∴O点为矩形的对称中心．E、F关于O点对称，B、D也关于O点对称．∴BE＝FD，EC＝AF，由EC折叠后与EA重合，∴EC＝EA．设AF＝x，则BE＝FD＝AD－AF＝4－x，AE＝AF＝x．在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2，即32＋(4－x)2＝x2．解得x＝825．∴S△AEF＝21×3×825＝1675（cm2）故AF的长为825cm，△AEF的面积为1675cm2．（四）证明题（每小题5分，共20分）17．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，过C作CE∥AB且CE＝AB，连结DE交BC于F．求证：DF＝EF．【提示】连结AE交BC于O，要证DF＝EF，因为AD∥BC，所以只要证OA＝OE，只要证四边形ABEC为平行四边形．【答案】连结AE交BC于O点，∵CEAB，∴四边形ABEC为平行四边形，∴OA＝OE．又AD∥BC，∴DF＝EF．18．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．5【提示】延长GP交BC于H，只要证PH＝PF即可，所以只要证∠PBF＝∠PBH．【答案】∵BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB．∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠EBD＝∠CBD．延长GP交BC于H点．∵PG⊥AD，∴PH⊥BC．∵PF⊥BE，P是∠EBC的平分线上．∴PF＝PH．∵四边形ABHG中，∠A＝∠ABH＝∠BHG＝∠HGA＝90°．∴四边形ABHG为矩形，∴AB＝GH＝GP＋PH＝GP＋PF故PF＋PG＝AB．19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AB、CD的中点，ME∥AN交BC于点E，求证AM＝NE．【提示】延长AN交BC延长线于点F．证明NE为△ABF的中位线．【答案】延长AN交BC的延长线于点F，∵DN＝CN，∠AND＝FNC，又由AD∥BC，得∠ADN＝∠FCN，∴△ADN≌△FCN．∴AN＝NF．∵AM＝BM且ME∥AF，∴BE＝EF．∴NE为△ABF的中位线，∴NE＝21AB＝AM．20．已知：如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，B在FE的延长线上．求证：AE、AF把∠BAC三等分．【提示】证出∠CAE＝30°即可．【答案】连结BD，交AC于点O，作EG⊥AC，垂足为G点．∵四边形AEFC为菱形，∴EF∥AC．∴GE＝OB．∵四边形ABCD为正方形，∴OB⊥AC，6∴OBGE，∵AE＝AC，OB＝21BD＝21AC，∴EG＝21AE，∴∠EAG＝30°．∴∠BAE＝15°．在菱形AEFC中，AF平分∠EAC，∴∠EAF＝∠FAC＝21∠EAC＝15°∴∠EAB＝∠FAE＝∠FAC．即AE、AF将∠BAC三等分．（五）解答题（每小题6分，共18分）21．如图，已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，∠MCN为定角，连结AM、AN，并延长分别交BC、CD于E、F两点，则∠CME与∠CNF在M、N两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论．【提示】BD为正方形ABCD的对称轴，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，用∠1和∠2表示∠MCN以及∠EMC＋∠FNC．【答案】∵BD为正方形ABCD的对称轴，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠EMC＝180°－∠1－∠3＝180°－2∠1．同理∠FNC＝180°－2∠2．∴∠EMC＋∠FNC＝360°－2（∠1＋∠2）．∵∠MCN＝180°－（∠1＋∠2），∴∠EMC＋∠FNC总与2∠MCN相等．因此∠EMC＋∠FNC始终为定角，这定角为∠MCN的2倍．22．如图（1），AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC、S△DAC和S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积．当AB∥CD时，有S△DMC＝2DBCDACSS①（1）如图（2），若图（1）中AB∥CD时，①式是否成立？请说明理由．（2）如图（3），若图（1）中AB与CD相交于点O时，S△DMC与S△DAC和S△DBC有何种相等关系？证明你的结论．图（1）图（2）图（3）【提示】△DAC，△DMC和△DBC同底CD，通过它们在CD边上的高的关系，来确定它们面积的关系．【答案】（1）当AB∥CD时，①式仍成立．分别过A、M、B作CD的垂线，AE、MN、BF的垂足分别为E、N、F．∵M为AB的中点，7∴MN＝21（AE＋BF）．∴S△DAC＋S△DBC＝21DC·AE＋21DC·BF＝21DC·（AE＋BF）＝2S△DMC．∴S△DMC＝2DACDBCSS（2）对于图（3）有S△DMC＝2DACDBCSS．证法一：∵M是AB的中点，S△ADM＝S△BDM，S△ACM＝S△BCM，S△DBC＝S△BDM＋S△BCM＋S△DMC，①S△DAC＝S△ADM＋S△ACM－S△DMC②①－②得：S△DBC－S△DAC＝2S△DMC∴S△DMC＝2DACDBCSS．证法二：如右图，过A作CD的平行线l，MN⊥l，垂足为N，BE⊥l，垂足为E．设A、M、B到CD的距离分别h1、h0、h2．则MN＝h1＋h0，BE＝h2＋h1．∵AM＝BM，∴BE＝2MN．∴h2＋h1＝2（h1＋h0），∴h0＝212hh．∴S△DMC＝2DACDBCSS．23．已知：如图，△ABC中，点O是AC上边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证EO＝FO．（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．【提示】（1）证明OE＝OC＝OF；（2）O点的位置首先满足四边形AECF是平行四边形，然后证明它此时也是矩形．【答案】（1）∵CE平分∠BCA，∴∠BCE＝∠ECO．又MN∥BC，∴∠BCE＝∠CEO．∴∠ECO＝∠CEO．∴OE＝OC．同理OC＝OF．∴OE＝OF．8（2）当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形，证明如下：∵OE＝OF，又O是AC的中点，即OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD，且∠BCA＋∠ACD＝180°，∴∠ECF＝∠ECO＋∠OCF＝21（∠BCA＋∠ACD）＝90°．∴□AECF是矩形．