98傅里叶变换

傅里叶变换表征现代光学重大进展的另一件大事，是P.M.Duffieux1946年把傅里叶变换的概念引入光学领域，由此发展成现代光学的一个重要分支——傅里叶光学（信息光学）。它应用线性系统理论和空间频谱的概念，分析光的传播、衍射和成像等问题。它用改变频谱的方法处理相干处理系统中的光信息；用频谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。信号频域分布特性的分析与处理系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理空域←→频域傅里叶分析离散周期信号连续周期信号离散非周期信号连续非周期信号1.二维傅里叶变换1、二维傅里叶变换的定义含有两个变量x,y的函数f(x,y)，其二维傅里叶变换定义为yxyfxfjyxfffFyxyxdd)(2exp),(),(),(yxffF{}),(yxf在此定义中，),(yxffF本身也是两个自变量yxff和的函数。率.为X和Y方向的空间频分别称f,f频谱,y)的傅里叶谱或空间)称为f(x,f,F(fyxyx),(exp),(),(yxyxyxffjffFffF用模和幅角表示如下),(yxffF变换F),(yxffF振幅谱),(yxff相位谱2),(yxffF功率谱类似地，函数f(x,y)也可以用其频谱函数表示，即：yxyxyxffyfxfjffFyxfdd)(2exp),(),(上式称为F（fx，fy）的二维傅里叶逆变换。正变换和逆变换在形式上非常相似，只是被积函数中指数因子的符号和积分变量不同而已。我们可以用傅里叶变换对偶式来表示两种变换之间的关系式。),(yxffF),(yxf=-1{}),(yxffFF-1（）FF()二、傅里叶变换的存在条件（1）、函数f(x,y)必须对整个XY平面绝对可积，即yxyxfdd),(（2）、函数f(x,y)必须在XY平面上的每一个有限区域内局部连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。（3）、函数f(x,y)必须没有无穷大间断点。上述三个存在条件是从数学的角度提出的，我们不证明它。这是因为，从应用的角度看，作为时间或空间函数而实际存在的物理量，其傅里叶变换总是存在的。但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例如阶跃函数，函数等就不满足存在条件。因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。三、广义傅里叶变换对于不严格满足存在条件的函数，首先把它定义为某一个序列的极限，该序列中的每一成分都具有通常的傅里叶变换，然后求出该序列各成分的傅里叶变换，从而得到一个相应的变换序列。如果后一序列极限存在，就称它为所考虑函数的广义傅里叶变换。所以广义傅里叶变换就是极限意义下的傅里叶变换。例题：求函数f(x,y)=1的傅里叶变换),(yxf解：上述函数显然不符合傅里叶变换存在的条件，现在我们把它定义为矩形函数序列的极限。)()(limayrectaxrectax)(axrect012a2a先求矩形函数的傅里叶变换xeaxrectxfjxd)(2xexfjaaxd222)(212222afjafjxxxeefjxxfafsinxxfaafasin)(sinafcax{rect(y)})(sinafcay{rect(x)}FF请同学业们动手推导)(sin)(sin2limyxaafcafca),(yxfff(x,y)=1所以1的傅里叶变换是函数。问题：函数的逆傅里叶变换等于1吗？xxfjxfefxd)(2xxfefd)(0xxffd)(1yxeffyfxfjyxyxdd),()(2),(yxf{})(xf-1FF物理图像请同学业们动手推导2.傅里叶变换的基本性质和有关定理1、线性性质),(yxffF),(yxffG设a,b为常数，则),(yxffaF),(yxffbG即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变换的相应组合。)y,x(fF)y,x(gF)y,x(bg)y,x(afF2、二重傅里叶变换性质)(y,xf对二元函数作二次傅里叶变换，得到原函数的反折3、缩放性质),(yxffF),a(1bffFabyx4、平移特性),()y(2exp00yxyxffFfxfj),(00yyxxffffF函数空域的位移，带来频域中的线性相移，另一方面函数在空域中的相移，会导致频域位移。)y,x(fFF),(yxfF),(byaxfF),(00yyxxfF),(y)(2exp00yxffxfjyxF),(yxf),(yxffFff),(00yyxxfff),()y(2exp00yxyxffFfxfjff),(yxffF),(00yyxxffffF),(y)(2exp00yxffxfjyx5、对称性质),(-*yxffF),(*yxffF若f(x,y)为实函数，显然有),(yxffF),(-*yxffF),(yxffF称具有厄米对称性),(*yxfF),(*yxfF若f(x,y)为虚函数，显然有),(yxffF),(-*yxffF),(yxffF称具有反厄米对称性),(yxffF),(yxffG),(yxffF),(yxffG),(yxffG说明：空域两个函数的卷积，在频域等于其变换的乘积。这一定理有重要的意义，当一个复杂函数可以表示成简单函数的乘积或卷积时，利用卷积定理可由简单函数的傅里叶变换来确定复杂函数的傅里叶变换。而且定理为获得两个函数的卷积提供了另一途径，即将两函数的变换式相乘，再对乘积作逆变换。)y,x(g)y,x(fF)y,x(g)y,x(fF)y,x(fF)y,x(gF6、卷积的傅里叶变换),(yxffF7、乘积的傅里叶变换),(yxffF),(yxffG)y,x(fF)y,x(gF8、相关的傅里叶变换),(yxffF),(yxffG)y,x(g)y,x(f★F（1）互相关定理),(yxffF),(yxffG互谱能量密度（2）自相关定理2),(yxffF)y,x(f)y,x(f★2),(yxffF称为信号f(x,y)的能谱密度F9、帕斯瓦尔（能量）定理yxyxdfdfffF2),(dydxyxf2),(在应用中上述积分都可以表示某种能量。本定理表明一个事件空域各分量能量的总和与频域各分量能量的总和是相等的。dydxyxfy)(x,)g,(yxyxyxdfdfffGffF),(),(10、积分性质(一维情况))(xfF)(xfF)()0(21)(21xxxfFfFfjdfx)(F11、导数定理),(yxffF则有),()(j2)(j2nmyxyxffFffynxmffyxF),(nm)y,x(fFyxyxfnmnm),(F),()2()2(yxfyjxjnmF若其导数存在),()2)(2(yxyxffFfjfjyxyxf),(2FyxffyxF),(2),()2)(2(yxfyjxjF证明：yxyxfnm),(nmyxyxyxffyfxfjffFyxfdd)(2exp),(),(yxyxyxnmnmffyfxfjffFyxdd)(2exp),(yxyxnmnmyxffyfxfjyxffFdd)(2exp),(yxyxnymxyxffyfxfjfjfjffFdd)(2exp)2()2)(,(nymxyxfjfjffF)2()2)(,(-1F),()(j2)(j2nmyxyxffFffyxyxfnmnm),(FyxyfxfjyxfffFyxyxdd)(2exp),(),(nm)2j()2j(dyd)(2exp),(xyfxfjyxfffyxynxmnmdyd)(2exp),()2()2(xyfxfjyxfyjxjyxnmnm)2j()2j(dyd)(2exp),(xyfxfjyxfyxyxnm),(yxfyxnmFynxmffyxF),(nm),()2()2(yxfyjxjnmF例题：求矩形函数的傅里叶变换x)(xrect02121)(xrect2121)d(-j2expxxfxxxfjfjxeefj21xxffsin)(sinxfc)()(yrectxrect)(sin)(sinyxfcfcFF例题：求高斯函数的傅里叶变换)(xGausxxfxx)d(-j2exp)(-exp2xexfxxd)j2(2xeexxfxfd22)j()jd(22)j(xfxffxeexx2xfe)(xfGaus1d2xexF)()(yxfGausfGaus)()(yGausxGausF例题：求余弦函数的傅里叶变换xfx02cosxxfx)d(-j2exp)(210022xfjxfjxxeexxfx)d(-j2expdxexffjxx)(2021dxexffjxx)(2021)(210xxff)(210xxff)(210xxff)(210xxff)(210yyff)(210yxffxfx02cosFyfxfxx002cos2cosF),(2100yyxxffff),(2100yyxxffff例题：求三角函数的傅里叶变换)(x)()(xrectxrect利用卷积定理)(sinc)(sinc)(sin2c)(2cos00yfxfyxF)()(xrectxrectF)(xF)(xrect)(xrectFF下面利用卷积定理的图解方法求三角函数的傅里叶变换。这种方法，用图形表示出函数在空间域和频率域的对应关系，分析思路直观且便于记忆。)(xrectx02121)(xrectx02121*x0)(x-11x11)(sincx11)(sincx11)(sin2c例：求极坐标内的二维傅里叶变换。yx0),(r0),(cosrxsinrycossinrdrdrjrrfG)cos(2exp)sin,cos()sin,cos(drdrjrrgG)cos(2exp),(),(同理ddrjGrg)cos(2exp),(),(上面极坐标下的傅里叶变换的形式是相当复杂的，但是当g具有圆对称性时，极坐标显得比较方便。傅里叶-贝塞尔变换设g(r,)具有圆对称性，即g与无关，于是可以写成g(r,)=g(r)drdrjrrgG)cos(2exp)(),(drdrjrrg020)cos(2exp)(利用贝塞尔函数关系式