测量不确定度与数据处理..

实验测量不确定度与数据处理大学物理实验主要内容§1-1实验测量的基本知识§1-2实验测量不确定度的评定§1-3有效数字及其运算§1-4实验测量数据的处理§1-1测量的基本知识一、物理测量的基本概念运用各种物理仪器和物理方法把待测未知量与已知标准单位同类量作比较，即待测量是该计量单位的多少倍。大多数的测量结果不但有数值而且有单位。8·16光大证券乌龙指事件程序把买入24个成分股，写成了买入24组180ETF成分股，结果生成巨量订单。2002年11月，一名经纪人看错了爱尔兰低价航空公司Ryanair的股票价格的货币单位，把先令和欧元弄混，结果该股票在伦敦市场的报价上涨了61%，从404.5先令上升到653.7先令。1.直接测量与间接测量凡是可以直接用计量仪器和测量量进行比较，便可获得测量结果的，该测量属于直接测量。如：米尺测长度、温度计测温度......凡是通过与被测量有函数关系的其他量，才得到被测量量值的测量，称为间接测量。如：电功率......1.直接测量与间接测量是相对的。2.直接测量是测量的基础。2.等精度测量和不等精度测量由同一观察者用同一仪器、同一方法、同一环境测量n次，所得测量值为x1、x2….xn，则把这样在同一种条件下的重复测量称为等精度测量。在不同条件（观察者、仪器、方法、环境）下的重复测量称为不等精度测量。3.重复测量和单次测量在等精度的条件下对待测量进行多次直接测量，每一次测量是测量全过程的重新调节，称为重复测量。只对测量量进行一次测量，称为单次测量。1.测量结果的准确度要求不高，允许粗略地估计误差的大小。2.测量误差远小于仪器误差。3.受条件的限制，如在动态测量中，无法对待测量做重复测量。4.测量的精密度、准确度、精确度精密度准确度精确度精密、不准确准确、不精密精确不精确5.仪器的准确度等级与仪器的公差选择测量仪器应考虑：准确度等级、测量范围、实际测量量对精度的要求等。仪器的精密度：仪器的最小读数。最小读数的数值越小，仪器的精密度越高，误差越小。测量结果的精密度和准确度与测量仪器的精确度等级密切相关。仪器的公差：Δ仪游标卡尺：出厂公差就是该游标卡尺类精密度。指针式电表：Δ仪=Amα%数字式仪表：Δ仪=K%V+ND二、测量结果分析的基本概念n1i1ixnx随机变量的算术平均数，等于“试验结果的各个可能值与其相应的频率f(x=xi)乘积之和”。由于频率f(x=xi)要试验后才能确定，因而算术平均数也必须到试验后才能求出，而且各次试验后，所得到算术平均数也不一定相同，具有随机性。iifxxn1i1.多次等精度测量结果的估算（1）算术平均值与数学期望零件重x公斤99100101件数m255025频率f25/10050/10025/100公斤10010025101100501001002599x例：数学期望dxxxfxE)()(iiipxE(x)1x是连续的在大量试验下，频率f(x=xi)稳定于概率p(x=xi),而随机变量x的算术平均值也一定稳定于“随机变量x的各个可能值与其相应概率p(x=xi)乘积的总和”，这个“总和”是一个常数，它是算术平均值的稳定值，称为随机变量x的数学期望。算术平均值与数学期望数学期望E(x)与算术平均值有紧密联系，都是反映随机变量x的“平均特征”这一统计特征，但它们又有质的差别，E(x)是一个客观存在的理论值，而算术平均值是一个试验值，具有随机性。其中，11iip概率概率密度函数111212nVnxxniiniix测量列的标准偏差：测量列平均值的标准偏差：nnnxxxniix112（2）测量列及测量列平均值的标准偏差概率密度函数：]21exp[21)σμx(πσf(x)正态分布曲线：xf(x)概率含量68.3%概率含量99.7%xxx3x3特点：•单峰性•对称性•有界性•抵偿性（3）正态分布§1-2实验测量不确定度的评定1、定义：测量值测量不确定度用测量的算术平均值来表示pux测量结果nxxxxn21由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，称为不确定度，它是与测量结果相联系的一个参数。一、不确定度的定义与物理意义2、分类可用概率统计法计算的A类评定用其它非统计方法估算的B类评定3、物理意义：更科学地表示了测量结果的可靠性pux测量结果表示真值在量值uxux,之中，显然，量值范围越窄，则测量不确定度越小，用测量值表示真值的可靠性就越高111212nVnxxniiniixnnnxxxniix1122.求测量列平均值的标准偏差1.用贝塞尔公式求标准偏差二、直接测量标准不确定度的A类评定当测量次数足够多时，测量值分布满足正态分布xx置信概率68.3%xf(x)为达到同样的置信概率，应把测量偏差范围扩大，乘上一个t因子，即：xxxvptxvptxvpt但实验测量中，次数有限所以测量值不满足正态分布，而是遵循t分布。三种概率下的不同自由度v的tvp值(v=n-1)3.503.714.034.605.849.930.992.372.462.572.783.184.300.951.081.091.111.141.201.320.68765432vtp0.990.950.682.582.862.983.253.361.962.092.152.262.3111.031.041.061.07191498vtpnttuxvpxvpA所以直接测量量不确定度A类评定为：三、直接测量标准不确定度的B类评定CkupB仪注意：对于不同的置信概率p，具有不同的A类不确定度。直接测量量不确定度B类评定为：置信概率p与置信因子kp的关系表p0.5000.6830.9000.9500.9550.9900.997kp0.67511.651.9622.583仪器名称米尺游标卡尺千分尺物理天平秒表误差分布正态分布均匀分布正态分布正态分布正态分布C33333误差分布与置信系数C的关系3仪Bu1）不确定度是正态分布或近似高斯分布P=68.3%3仪Bu2）均匀分布P=68.3%3）三角形分布6仪BuP=68.3%四、总不确定度的合成22BAuuuuxx测量结果:P=68.3%注意：A、B类不确定度的合成时，两者概率需一致。测量不确定度用一位或二位数表示均可。如果作为间接测量的一个中间结果（中间过程）不确定度最好用二位；首位逢一、二可用两位；对不保留数字一律“只进不舍”，如ux=0.32，取0.4。测量值末位与不确定度末位相对齐来确定。对保留数字末位采用“4舍6入，5凑偶”规则。五、直接测量结果不确定度书写表示注意事项如：测量结果平均值为2.1445cm，其标准不确定度计算为0.0124cm，则测量结果为：2.144±0.013cm不确定度单位应与测量值单位保持一致。相对不确定度：没有单位，用百分数表示，它更能反映测量的准确程度所取位数0-10%10%-100%取二位定义：表示不确定度ux在整个测量值中所占百分比，用符号“E”来表示:x%100xuEx不确定度的其它表示:首位逢1和2：取2位有效数字首位其它数字：取1位有效数字例：用量程0~25mm，最小分度值为0.01mm，最大允差为0.004mm的螺旋测量微器测量钢丝的直径6次，数据如下：D(mm):3.953,3.953,3.950,3.954,3.952,3.953,求直径的A,B类不确定度，并完整表示不确定度测量结果。解：(1)求A类不确定度mmDDnDiinii9525.3611611测量次数为6次，查表得t0.683=1.11，mmnnDDttuniipxpA0007.0301050.911.11612mmuB0014.03004.03仪mmuuUBA0016.00014.00007.02222测量结果的不确定度表示:)68.0(0016.09525.3pmmUDDD相对不确定度:%05.0%1009525.30016.0%100DUED螺旋测量微器的误差为正态分布，C=3(2)求B类不确定度(3)不确定度的合成六、间接测量量不确定度的估算不确定度传递公式:表示间接测量值与各直接测量值之间的关系式对于间接测量值：nxxxxfN,,,,321nxnxxxNUxfUxfUxfUxfU321321nxnxxxNUxfUxfUxfUxfNUlnlnlnln3213211.常用函数不确定度的算术合成绝对不确定度传递公式：相对不确定度传递公式：例如：N=A+BN=AB2.常用函数不确定度的几何合成绝对不确定度传递公式:2222121nxnxxNUxfUxfUxfU相对不确定度传递公式:22221lnlnln21nxnxxNUxfUxfUxfNU算术合成的不确定度传递公式简单但得到的是可能的最大偏差例如：N=A+BN=AB不确定度传递公式应按下列步骤进行：（1）对函数求全微分（乘除时或先对函数取自然对数，再求全微分）；（2）合并同一变量的系数；（3）将微分号改为不确定度符号，求各项的绝对值之和（算术合成），或求各项的平方再开方（几何合成）。3.运算顺序的选择函数为和与差关系------先计算绝对不确定度，后计算相对不确定度函数为积与商关系------先计算相对不确定度，后计算绝对不确定度函数为先和差后积商关系------先计算相对不确定度，后计算绝对不确定度函数为先积商后和差关系------先计算绝对不确定度，后计算相对不确定度§1-3有效数字及其运算一、有效数字定义：测量数据中所有可靠数字加上一位可疑数字统称为有效数字。有效数字的最后一位是估读的，为可疑数字。虽然可疑数字不是准确的，是误差所在的位，但仍反映了被测量大小的信息，所以还是有意义的。估读位前的几位数字都为可靠数字。1.实验过程中记录应记几位数字？2.实验后，处理实验数据时数据运算后要保留几位数字？1.有效数字的认定1）在测量数据中1、2、……9九个数字，每个数字都为有效数字。2）“0”是特殊数字，其认定应注意以下几种情况：数字间的“0”为有效数字数字后的“0”为有效数字数字前的“0”不是有效数字，表示数量级大小注意：在测量时，数据不能任意多写或少写，即便是“0”也一样。3）有效数字的位数计算，从第一位不是“0”的数字至最后一位。例如：某长为1.34cm，有效数字为3位1.34cm=13.4mm=0.0134m（只是单位变）4）在十进制单位中，有效数字的位数与十进制单位的变化无关。5）有效数字的位数多少，在一定程度上反映测量结果的准确度。有效数字位数越多－相对误差越小，准确度越大有效数字位数越少－相对误差越大，准确度越小2.科学记数法——标准式为计算的方便，对较大或较小的数值，常用×10±n的形式来书写（n为正整数），通常在小数点前面只写一位数字。例如：321000±1000m采用科学记数为（3.21±0.01）×105m0.0001560±0.0000001m＝（1.560±0.001）×10-4m(1)加减法则：加减运算所得结果的最后一位，保留到所有参加运算的数中末位数数量级最大的那一位为止。例：217-14.8=结果：20271.32-0.8+6.3+271=结果：348二、有效数字的运算法则202.2347.82(2)乘除法则：积和商的位数与参与运算诸项中有效数字位数最少的那一项相同。例：31.522.1=66.192结果：66