单自由度振动方程的解

单自由度体系振动方程的解重点：杜哈美积分难点：杜哈美积分的来源一、无阻尼的自由振动0)()(tkytym0)()(2tytytBtAtysincos)(tvtytysincos)(00)()()()(tPtKytyCtym记ω2=mK00)(ytyt00)(vtyt初始条件为：)sin()(ataty无阻尼自由振动是简谐振动tα/ωa－a①自振频率只与结构的质量和结构的刚度有关，与初始条件及外界的干扰力无关。②自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小；自振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率越大；要改变结构的自振频率，只有从改变结构的质量或刚度着手。mK——自振频率mKstgDWgdmd1Δst—在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。二、有阻尼的自由振动0)()()(tkytyCtym0)()()(tymKtymCtymK2mCn2记0)()(2)(2tytynty利用常数变易法，令)()(tSetynt0)()()(22tSntS)()()()(tPtKytyCtymn为衰减系数1.当nω时（强阻尼）)()(222221tnchAtnshAetynttnchAtnshAtS222221)(2．n=ω时（称为临界阻尼）S(t)=B1+B2tn=mCcr2tBBetSetyntnt21)()(0)()()(22tSntSCcr=2mω（此式为确定临界阻尼的公式）=ωtyy0θ0mCn2crCC称为阻尼比对钢筋混凝土结构ξ5%，一般取3%对钢结构ξ=1%—2%3）当nω时（弱阻尼）222nd令)sincos()(tBtAetyddnt)sincos()(tBtAetyddtmCCCcrcr20)()()(22tSntSty1.瞬时冲击荷载作用时的强迫振动tP(t)Δt特点：①作用时间与系统的自振周期相比很小②Δt时间内P（t）可视为常数设单自由度体系在静止状态，在极短时间Δt内作用干扰力P(t)，在时间t–t0内由动量定理得若t0=0时v0=0则，mptv于是，在（0，t）时间内系统产生的位移反应y(t)为mptdtmpttyt2)(20三、无阻尼的强迫振动)()()(tPtyKtymmptty2)(2由假设，干扰力作用的时间为Δt，则Δt时间内系统产生的速度反应和位移反应分别为mtptvD)(mtpty2)()(2Dy(t)和v(t)比较是高阶无穷小量，Δt极短，故可认为:Δt时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为初位移为的自由振动。mtptvD)(02)()(2Dmtpty瞬时冲击荷载移去后，运动成为自由振动mptvtvtytysincos)(00tmtpsinD若时间t不是从0开始，而是从τ开始的，则上式写为：)(sin)(Dtmtpty2.一般性动力荷载P（t）作用于系统时考虑P（t）在（0，t）时间内作用于系统，认为是由无数个瞬时冲击荷载的叠加，如图。P（t）tττ+dτ考虑由时刻τ开始，在dτ时间内的位移反应)(sin)()(tmdptdy则，在（0，t）时间内作用于系统，系统所产生的位移反应为ttmdpty0)(sin)()(此式称为杜哈美积分（卷积、褶积）如果叠加自由振动部分，可得位移反应ttmdptBtAty0)(sin)(sincos)(P（t）tττ+dτ)(sin)(Dtmtpty3.简谐荷载作用下的解以P（t）=Psinθt代入杜哈美积分得：tdtPmty0)(cossin1)()sin(sin1122ttmPtttyssinsin)()sin(sin112ttPddm12mPys为静位移211为动力系数tttytyssinsin)()(ttyssin)(由于P（t）作用，由振动系统产生，称为生态振动ttyssin)(由P（t）自身产生，称为稳态振动上式由两部分组成生态振动由于阻尼的影响，较长时间后振动会消失，故，方程式的稳态解为：ttytyssin)()(2mPyssyymax反映了惯性力的影响211动力系数谱曲线1230.51.01.52.01，称为共振前区，为减小动力系数，可采取增大ω的方法--------刚性方案1，称为共振后区，为减小动力系数，可采取减小ω的方法--------柔性方案工程中，把0.751.25的区域称为共振区，设计时应避开。四、有阻尼的强迫振动（弱阻尼）mtPtytyty)()()(2)(21.瞬时冲击荷载作用下的位移反应tP(t)ΔtΔt时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为初位移为的自由振动。mtptvD)(02)()(2Dmtpty)sincos()(tBtAetyddt有阻尼的自由振动位移反应temttptydtdsin)()(D若t从τ开始，则上式写成Dtemtptydtdsin)()(2.任意动力荷载p（t）作用时的位移反应temdptdydtdsin)()(考虑P（t）在（0，t）时间内作用于系统，认为是由无数个瞬时冲击荷载的叠加，如图。P（t）tττ+dτ*tdtddtpemty0)()(sin)(1)(3.简谐动力荷载Psinθt作用下的解设特解（稳态解）：y（t）=B1cosθt+B2sinθt22222214)(2mPB222222224)(mPBmtPtytytysin)()(2)(2令B1=-Csinε，B2=Ccosε，则：y(t)=Csin（θt-ε）式中，C为振幅，ε为相位角。,C=2212tgsyttytyssin)()(2mPys静位移),(4112222f动力系数)(maxtyys给出不同的阻尼比ξ，画出位移反应谱示意图如下123450.51.01.52.0ξ=0.05ξ=0.2ξ=0.25①μ随阻尼比ξ的增大而下降较快，特别是在=1附近*123450.51.01.52.0ξ=0.05ξ=0.2ξ=0.25②共振时=1，此时μ=（不是最大值），μmax=，在=1的左侧2121212222411*123450.51.01.52.0ξ=0.05ξ=0.2ξ=0.25③当θ=ω时，ε=2ttytyssin)()(ttytyscos)()(2212tg*ttytyscos)()(③当θ=ω时，ε=2惯性力：)(tymFItymscos2tymscos2tyKscos弹性力：tyKtKyFsEcos)(阻尼力：tyCtyCFsDsin)(tymssin22tymssin2122tymssin2tPtmPmsinsin22n=mCcr2n可见，共振时惯性力与弹性力平衡；阻尼力与外力（干扰力）平衡。若无阻尼，则无任何力与外力（干扰力）平衡，以致出现y(t)趋于∞，产生共振五、地震地面运动)(ty)(tyg))()((tytymFgI)(11tyKFE)(tycFD0)()())()((tKytyctytymg)()()()(11tymtyKtyctymg惯性力弹性力阻尼力