空间向量与立体几何复习最新版

§3空间向量与立体几何真题热身(2011·湖北)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为32，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE＝22，BF＝2.(1)求证：CF⊥C1E；(2)求二面角E－CF－C1的大小．方法一(1)证明由已知可得CC1＝32，CE＝C1F＝22＋(22)2＝23，EF2＝AB2＋(AE－BF)2，EF＝C1E＝22＋(2)2＝6，于是有EF2＋C1E2＝C1F2，CE2＋C1E2＝CC21，所以C1E⊥EF，C1E⊥CE.又EF∩CE＝E，所以C1E⊥平面CEF.又CF⊂平面CEF，故CF⊥C1E.(2)解在△CEF中，由(1)可得EF＝CF＝6，CE＝23，于是有EF2＋CF2＝CE2，所以CF⊥EF.又由(1)知CF⊥C1E，且EF∩C1E＝E，所以CF⊥平面C1EF.又C1F⊂平面C1EF，故CF⊥C1F.于是∠EFC1即为二面角E－CF－C1的平面角．由(1)知△C1EF是等腰直角三角形，所以∠EFC1＝45°，即所求二面角E－CF－C1的大小为45°.方法二建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得，A(0,0,0)，B(3，1,0)，C(0,2,0),C1(0,2,32),E(0,0,22),F(3,1,2)．(1)证明C1E→＝(0，－2，－2)，CF→＝(3，－1，2)，C1E→·CF→＝0＋2－2＝0.所以CF⊥C1E.(2)解CE→＝(0，－2,22)，设平面CEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，由m⊥CE→，m⊥CF→，得m·CE→＝0，m·CF→＝0，即－2y＋22z＝0，3x－y＋2z＝0，解得y＝2z，x＝0.可取m＝(0，2，1)．设侧面BC1的一个法向量为n，由n⊥CB→，n⊥CC1→，及CB→＝(3，－1,0)，CC1→＝(0,0,32)，可取n＝(1，3，0)．设二面角E－CF－C1的大小为θ，于是由θ为锐角可得cosθ＝|m·n||m||n|＝63×2＝22，所以θ＝45°.即所求二面角E－CF－C1的大小为45°.考点整合1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔a3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.2．空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝|e·n||e||n|.(3)二面角的求法①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角．②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．如图所示，二面角α－l－β，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α－l－β的大小为θ或π－θ.分类突破一、利用向量证明平行与垂直例1如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.证明如图建立空间直角坐标系A—xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．(1)取AB中点为N，连结CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，∴DE→＝(－2,4,0)，NC→＝(－2,4,0)，∴DE→＝NC→，∴DE∥NC，又∵NC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC.故DE∥平面ABC.(2)B1F→＝(－2,2，－4)，EF→＝(2，－2，－2)，AF→＝(2,2,0)．B1F→·EF→＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，B1F→·AF→＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴B1F→⊥EF→，B1F→⊥AF→，即B1F⊥EF，B1F⊥AF，又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.归纳拓展(1)证明线面平行须证明线线平行，只需证明这条直线与平面内的直线的方向向量平行．可用传统法也可用向量法，用向量法更为普遍．(2)证明线面垂直的方法：可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明；也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明．(3)证明面面垂直通常转化为证线面垂直，也可用两平面的法向量垂直来证明．变式训练1如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB.证明∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.又EF⊥FB，FB∩BC＝B，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABC.以H为坐标原点，HB→为x轴正方向，HF→为z轴正方向，建立如图所示的坐标系．设BH＝1，则A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1)．(1)设AC与BD的交点为G，连结GE，GH，则G(0，－1,0)，∴GE→＝(0,0,1)．又HF→＝(0,0,1)，∴HF→∥GE→，即HF∥GE.又∵GE⊂平面EDB，HF⊄平面EDB，∴FH∥平面EBD.(2)AC→＝(－2,2,0)，GE→＝(0,0,1)，AC→·GE→＝0，∴AC⊥GE.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.二、利用向量求空间角例2(2010·天津)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1－ED－F的正弦值．方法一如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，32,0)．(1)解易得EF→＝(0，12，1)，A1D→＝(0,2，－4)，于是cos〈EF→，A1D→〉＝EF→·A1D→|EF→||A1D→|＝－35.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为35.(2)证明易知AF→＝(1,2,1)，EA1→＝(－1，－32，4)，ED→＝(－1，12，0)，于是AF→·EA1→＝0，AF→·ED→＝0.因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.(3)解设平面EFD的法向量u＝(x，y，z)，则u·EF→＝0，u·ED→＝0，即12y＋z＝0，－x＋12y＝0.不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)，由(2)可知，AF→为平面A1ED为一个法向量，于是cos〈u，AF→〉＝u·AF→|u||AF→|＝23，从而sin〈u，AF→〉＝53.所以二面角A1－ED－F的正弦值为53.方法二(1)解设AB＝1，可得AD＝2，AA1＝4，CF＝1，CE＝12.连结B1C，BC1，设B1C与BC1交于点M，易知A1D∥B1C.由CECB＝CFCC1＝14，可知EF∥BC1，故异面直线EF与A1D所成的角即为BC1与B1C所成的角，即为∠BMC.易知BM＝CM＝12B1C＝5，所以cos∠BMC＝BM2＋CM2－BC22·BM·CM＝35.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为35.(2)证明连结AC，设AC与DE交于点N.因为BABC＝ECCD＝12，所以Rt△DCE∽Rt△CBA，从而∠CDE＝∠BCA.又因为∠CDE＋∠CED＝90°，所以∠BCA＋∠CED＝90°，故AC⊥DE.又因为CC1⊥DE且CC1∩AC＝C，所以DE⊥平面ACF.从而AF⊥DE.连结BF，同理可证B1C⊥平面ABF，从而AF⊥B1C，所以AF⊥A1D.因为DE∩A1D＝D，所以AF⊥平面A1ED.(3)解连结A1N，FN.由(2)可知DE⊥平面ACF.又NF⊂平面ACF，A1N⊂平面ACF，所以DE⊥NF，DE⊥A1N.故∠A1NF为二面角A1－ED－F的平面角．易知Rt△CNE∽Rt△CBA，所以CNBC＝ECAC.又AC＝5，所以CN＝55.在Rt△CNF中，NF＝CF2＋CN2＝305.在Rt△A1AN中，A1N＝AN2＋A1A2＝4305.连结A1C1，A1F.在Rt△A1C1F中，A1F＝A1C21＋C1F2＝14.在△A1NF中，cos∠A1NF＝A1N2＋FN2－A1F22·A1N·FN＝23，所以sin∠A1NF＝53.所以二面角A1－ED－F的正弦值为53.归纳拓展1.若几何体中含有两两垂直的三条直线，一般要考虑建立空间直角坐标系，借用空间向量求空间角．恰当建系，准确写出相关点或向量的坐标是解题的关键．2．求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．变式训练2(2011·山东)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A－BF－C的大小．(1)证明方法一因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG.由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.连结AF，由于FG∥BC，FG＝12BC，在▱ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝12BC，因此FG∥AM且FG＝AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA.又FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE，所以GM∥平面ABFE.方法二因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG.由于AB＝2EF，所以BC＝2FG.取BC的中点N，连结GN，因此四边形BNGF为平行四边形，所以GN∥FB.在▱ABCD中，M是线段AD的中点，连结MN，则MN∥AB.因为MN∩GN＝N，所以平面GMN∥平面ABFE.又GM⊂平面GMN，所以GM∥平面ABFE.(2)解方法一因为∠ACB＝90°，所以∠CAD＝90°.又EA⊥平面ABCD，所以AC，AD，AE两两垂直．分别以AC，AD，AE所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC＝BC＝2AE＝2，则由题意得A(0,0,0)，B(2，－2,0)，C(2,0,0)，E(0,0,1)，所以AB→＝(2，－2,0)，BC→＝(0,2,0)．又EF＝12AB，所以F(1，－1,1)，BF→＝(－1,1,1)．设平面BFC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m·BC→＝0，m·BF→＝0，所以y1＝0，x1＝z1，取z1＝1，得x1＝1，所以m＝(1,0,1)．设平面向量ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n·AB→＝0，n·BF→＝0，所以x2＝y2，z2＝0，取y2＝1，得x2＝1.则n＝(1,1,0)．所以cos〈