人A函数学案2 指数函数及其性质

开始学点一学点二学点三学点四学点五学点六学点七1.一般地，函数叫做指数函数，其中x是，函数的定义域是值域是.2.函数y=ax(a0,且a≠1)，当时，在(-∞,+∞)上是增函数；当时，在(-∞,+∞)上是减函数.3.y=ax(a0,且a≠1)的图象一定过点.当a1时，若x0,则y，若x0，则y;当0a1时，若x0,则y,若x0，则y.4.函数y=2x-2的图象可以看成指数函数y=2x的图象向平移个单位得到的；函数y=ax-m(a0,且a≠1,m0)的图象可以看成指数函数y=ax的图象向平移个单位得到的；函数y=ax+m(a0,且a≠1,m0)的图象可以看成指数函数y=ax的图象向平移个单位得到的.y=ax(a＞0,且a≠1)自变量R（0,+∞）a10a1(0,1)1∈(0,1)∈(0,1)1右2右m左m返回5.函数y=ax和y=a-x的图象关于对称；函数y=ax和y=-ax的图象关于对称；函数y=ax和y=-a-x的图象关于对称.6.当a1时，af(x)ag(x)；当0a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x).7.若函数y=f(x)在区间D上是增（减）函数，则函数y=af(x),当a1时，在区间D上是函数；当0a1时，在区间D上是函数.y轴y轴原点f(x)g(x)增（减）减（增）返回学点一基本概念指出下列函数中，哪些是指数函数：（1）y=4x;（2）y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=x;(6)y=4x2;(7)y=xx;（8）y=(2a-1)x（a,且a≠1.）21【分析】根据指数函数的定义进行判断.【解析】由定义，形如y=ax(a0,且a≠1)的函数叫指数函数.由此可以确定（1）（5）（8）是指数函数.（2）不是指数函数.（3）是-1与指数函数4x的积.返回(4)中底数-40,所以不是指数函数.(6)是二次函数,不是指数函数.(7)底数x不是常数,不是指数函数.【评析】基本初等函数:一次函数、二次函数、指数函数及后面将要学到的对数函数、幂函数，都有一定的形式,要注意定义的要求.返回已知指数函数y=(m2+m+1)·（）x,则m=.51解：∵y=(m2+m+1)·（）x为指数函数,∴m2+m+1=1,即m2+m=0,∴m=0或-1.510或-1返回学点二函数的定义域值域求下列函数的定义域、值域:（1）y=2;（2）y=（）;（3）y=4x+2x+1+1;（4）y=10.41xx112xx32【分析】由于指数函数y=ax(a0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y=af(x)(a0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，利用指数函数的单调性求值域.返回【解析】（1）令x-4≠0,得x≠4.∴定义域为{x|x∈R,且x≠4}.∴≠0,∴2≠1,∴y=2的值域为{y|y0，且y≠1}.（2）定义域为x∈R.∵|x|≥0,∴y==≥=1,故y=的值域为{y|y≥1}.（3）定义域为R.∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2,且2x0,∴y1.故y=4x+2x+1+1的值域为{y|y1}.41x41x41xX)32(X)23(0)23(X)32(返回【评析】求与指数函数有关的函数的值域时，要充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.如第（1）小题切记不能漏掉y0.（4）令≥0,得≥0,解得x-1或x≥1.故定义域为{x|x-1或x≥1}.值域为{y|y≥0,且y≠10}.12xx1x1-x返回（1）要使函数有意义，必须1-x≠0，即x≠1,∴函数的定义域是{x|x∈R,且x≠1}.（2）要使函数有意义，必须-≥0,则≥2-1,∴-x2≥-1,即-1≤x≤1,∴函数的定义域是{x|-1≤x≤1}.22X22X21返回求下列函数的定义域:（1）y=2;（2）y=；（3）x-1x121-22x-xy)21(1返回(3)∵1-≥0∴≤1,∴x≥0,即定义域为{x|x≥0}.x21x21学点三比较大小比较下列各题中两个数的大小：（1）1.72.5,1.73;（2）0.8-0.1,0.8-0.2;（3）1.70.3,0.93.1.【分析】将所给指数值化归到同一指数函数，利用指数函数单调性比较大小；若不能化归为同一底数时，或求范围或找一个中间值再比较大小.返回【解析】（1）指数函数y=1.7x，由于底数1.71，∴指数函数y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数.∵2.53,∴1.72.51.73.（2）函数y=0.8x，由于00.81,∴指数函数y=0.8x在(-∞,+∞)上为减函数.∵-0.1-0.2，∴0.8-0.10.8-0.2.（3）由指数函数的性质得1.70.31.70=1,0.93.10.90=1,∴1.70.30.93.1.【评析】比较大小一般用函数单调性，而比较1.70.3与0.93.1的大小，可在两数间插入1，它们都与1比较大小可得结论，注意此类题在求解时，常插入0或±1.返回比较下列各题中数的大小：(1)-0.8,-0.9;(2)-0.23,-0.25;(3)(3+2),(-1).232)34()54()54()43(2219.08.0)54()54((1)∵y=x在R上是减函数,又∵-0.8-0.9,∴(2)∵-0.25=0.25,∴由y=x在R上是增函数得即.(3)∵,而y=为R上的减函数,∴.即.)34()43()34(0.250.230.250.23)43()34()34()34(12)12()12()223(121221x)12(32)12()12(3221)12()223()54(返回【解析】设u=-x2+3x+2=,则当x≥时,u是减函数,当x≤时,u是增函数,又当a1时,y=au是增函数,当0a1时,y=au是减函数,所以当a1时,原函数f(x)=a-x+3x+2在上是减函数,在上是增函数；当0a1时,原函数f(x)=在上是增函数,在上是减函数.417)23(2x23232,2323,a-x+3x+22,2323,学点四单调性的判定已知a0，且a≠1,讨论f(x)=a-x+3x+2的单调性2【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题.指数-x2+3x+2=当x≥时，是减函数,x≤时，是增函数,而f(x)的单调性又与0a1和a1两种范围有关,应分类讨论.417)23(x22323返回【评析】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数;如果两个函数中一增一减,则其复合函数是减函数.但一定要注意考虑复合函数的定义域.返回讨论函数f(x)=的单调性,并求其值域.xx22)32(∵f(x)的定义域为R,令u=-x2+2x,则f(u)=.又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1］上是增函数,即当时，有.又∵f(u)=在其定义域内为减函数,∴.∴函数f(x)在(-∞,1］上为减函数,同理可得f(x)在［1,+∞)上为增函数.又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,f(u)=在(-∞,1］上是减函数,∴f(u)≥.即f(x)的值域为u)32(21uu121xxu)32()()(21ufufu)32()32(,32返回学点五最值问题求函数y=，x∈［-3,2］的最大值和最小值.124xx【分析】令=t，化函数为关于t的二次函数，再求解.x2【解析】令=t,∵x∈［-3,2］,∴t∈,∴y==t2-t+1=,当t=时，y=;当t=8时，y=57.∴函数的最大值为57,最小值为.8,41x2124xx214343)21(2t43【评析】化为二次函数,用配方法求解是一种常用的方法.返回已知函数y=a2x+2ax-1(a1)在区间［-1,1］上的最大值是14,求a的值.令t=ax,∵x∈［-1,1］，且a1,∴t∈.原函数化为y=t2+2t-1=(t+1)2-2.∴单调增区间是［-1,+∞),∴当t∈时,函数单调递增,∴当t=a时,=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5,又∵a1,∴a=3.aa,1aa,1maxy返回学点六函数的图象及应用【解析】其图象是由两部分合成的，一是把y=2x的图象向右平移1个单位，在x≥1的部分，二是把的图象向右平移1个单位，在x1的部分，对接处的公共点为(1,1)，如上图.xy)21(1,)21(1,22111xxyxxx【分析】指数函数的复合函数常常由指数函数经过平移变换、对称变换、翻折变换等得到，经过这些变换其性质与图象将发生变化.画出函数的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质.12xy返回由图象可知函数有三个重要性质：（1）对称性：对称轴为x=1;（2）单调性：(-∞,1］上单调递减，［1,+∞)上单调递增；（3）函数的值域：［1,+∞).【评析】作较复杂函数的图象（本题称分段函数），要把各部分变换而得到一个整体，为了表示某部分是某个函数图象的一部分，常画出一些虚线进行衬托，虚线部分不是函数图象上的点，应注意区别.返回画出函数y=2x-1+1的图象，然后指出其单调区间及值域.先画出指数函数y=2x的图象，然后将其向右平移一个单位，再向上平移一个单位即可，由图象可看出函数的单调增区间为(-∞,+∞),函数的值域为(1,+∞).返回设a0，f(x)=在R上满足f(-x)=f(x).（1）求a的值；（2）证明：f(x)在(0,+∞)上是增函数.xxeaae【分析】f(-x)=f(x)说明f(x)是偶函数，由此求a；单调性只能用定义证明.【解析】（1）因为对一切x∈R有f(x)=f(-x)，即，所以对一切x∈R成立.由此可得即a2=1.又因为a0，所以a=1.xxxxaeaeeaae10)1()1(xxeeaa,01aa学点七指数函数的综合应用返回【评析】指数函数的复合函数的性质是学习的重点，研究这些性质，使用的方法仍是前面学习的基本方法.（2）证明：∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.）上是增函数f(x)在(x)0)f(x)f(x0e10,1e0,x0得得xx0,x0,由xee11)(ee1)e1)(e(ee1e1ee)f(x)f(x则,xx设021xxx.x211221xxxxxxxxxx1x2x2xx2x2121211212121212111返回设a是实数，f(x)=a-(x∈R).（1）证明：不论a为何实数，f(x)均为增函数；（2）试确定a的值，使f(-x)+f(x)=0成立.122x(1)证明：设x1,x2∈R，且x1x2，x1-x20,则f(x1)-f(x2)=(a-)-(a-)==.由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1x2,所以,即.1221x1222x1222x1221x1))(212()2-2(22121xxxx02-2222121xxxx返回又由2x0得所以f(x1)-f(x2)0,因为此结论与a的取值无关，所以不论a为何实数，f(x)均为增函数.（2）由f(-x)+f(x)=0得得a=1.2121)2(212221)(2222a0,122-a122-axxxxxxxx-1,11,21221xx返回1.解题时需要注意什么问题？（1）函数y=ax的图象与性质是本学案的核心，对a1或0a1的图象和性质，如单调性、值域的分布等要熟练掌握，只有这样，在研究有关复合函数时才能收到事半功倍的效果.(2)当a0，且a≠